当前课程知识点：量子力学（下） > 第十一章 微扰论 > § 11.2 束缚态微扰论II：简并情形 > 11.2.1 一级微扰能和零级波函数
下面我们来介绍
束缚态微扰论的
另外一种情形
叫做简并情形
首先介绍一下
一级微扰能
和零级波函数的确定
我们先回顾一下
微扰展开的基本假设
那就是
把要求的能级按照
微扰哈密顿量的级次
分为零级, 一级, 二级等等
类似的, 波函数也按照
微扰哈密顿量的级次
分成零级, 一级, 二级等等
现在我们先关心一下
零级方程
那就是
ψn(0) 和 En(0) 应该满足
这样的方程
而这个 Ĥ(0) 是
未微扰的哈密顿量
问题是现在要考虑
这个 En(0) 能级有
简并的这种情形
也就是说
当我们注意这个方程的时候
它不只有一个线性独立的解
假设我们有 k 个这样的函数
作为这个能级的本征函数
分别把它记作 ϕn1
这个 n 指的是
这个能级的编号
而这个 1 是
简并波函数的编号
注意右上角仍然是 0
意思就是说
它是零级波函数
而下边的这个第二个指标
就可以
分别取从 1 到 k 的值
k, 大家知道称之为
这个能级的简并度
这些本征方程
都满足
上一页的那个零级方程
因此我们应该分别写出
k 个这样的方程
注意这里的 n
并不带有什么角标
是我们认准的某一个能级
但是这里的 ϕ
另外多了一个角标记作 i
而 i 的取值是 k 个不同的值
现在我们就考虑
零级波函数的构造
由于零级波函数的
一般性要求
就是它满足零级的那个
薛定谔方程
而现在我们有
k 个这样的函数
都满足那个方程
因此在引入微扰以后
在最一般的情况下
所谓的零级波函数
是所有这 k 个
本征函数的线性组合
就是这样的一个表达式
那么现在的问题就是
第一这些系数如何来确定
第二我们如何决定微扰能量
这个时候我们就应当注意到
一级微扰方程
因为一级微扰方程里边
出现了零级波函数
把刚才这个
零级波函数的假设
代入到一级微扰方程里边
我们就发觉
左边当然出现的是
原有的哈密量
和未微扰的那个能级
但是作用于一级微扰波函数
右边是微扰哈密顿量
减去一级微扰能
作用于零级波函数
这就是一级微扰方程
完全类似地
像以前的做法那样
我们把这个方程
两边同时乘以
零级波函数的负共轭
但是要注意
现在的零级波函数
有 k 个互相独立的函数
我们应该选出其中的一个
我们把选择的这一个记作 j
乘了以后再进行积分
像我们原来得到的经验那样
这个方程的左边
仍然是等于 0 的
所以剩下来的方程是
这样的一个和适
这里的 i 取 k 个不同的值
它指示出了一个是这里的 ci
它指的是我们刚才
做组合的时候的那个系数
另外一个是
这里有一个第 i 个
简并的波函数
但是由于我这里的 j
可以等于也可以不等于 i
所以说我们把它叫做
自由的一个指标
因而一般而言
像这样的一个积分
必须特殊去完成
而它和它的积分
根据正交归一关系
得到的是 δji
意思就是 j≠i 的时候是 0
j=i 的时候是 1
而这个符号的前面恰好就是
一级微扰能
为了简单起见
我们把这样的一个积分
记成为 Ĥ′ji
实际上大家很容易发觉
这就是按照矩阵元的写法的 H′
在 ϕni 这个基底上
构成的矩阵元
因此这个方程
就可以写成了这个样子
如果我们把这个方程
和前面我们介绍过的
矩阵形式的本征方程
做比较的话
就可以发觉
它是完全类似的
这里就是用矩阵形式
表达的一个力学量
这个代表的是
那个力学量的本征值
而这些系数
构成的是相应的本征函数
所以根据前面的经验
我们可以知道
这个在刚才的意义上
叫做本征值
现在的意义
叫做一级微扰能
而它所服从的方程
就是一个
这样的一个行列式, 等于 0
构成这个行列式的一个是
这个矩阵
另外一个是一级微扰能
作为本征值出现在
矩阵的对角元素上面
但是前面要有个负号
那么大家知道
这个方程叫做长期方程
把它具体地写出来
就是一个
这样的行列式等于 0
从这个方程我们就可以解出
这些本征值
也就是一级微扰能
然后把解出的这个值
再代回到
原来的矩阵方程里
又可以决定出这些系数 ci
因此通过上面的方法
我们就求出了
一级微扰能和零级波函数
这里一定要注意
通过求解这个久期方程
我们得到的是
一级微扰能和零级波函数
二者并不是
同一个级次的微扰
这里一定有一个情况要注意
如果我们回忆
前面的非简并情形
我们知道
一级微扰能
实际上就是微扰哈密顿量
在你所选定的
那个波函数上的平均值
意思就是说是那个
微扰哈密顿量的对角元素
然而现在它
服从的是一个久期方程
构成这个方程的不但包括
H′ 的对角元素
而且包括了
H′ 的非对角元素
意思是说这里的 i≠j
当然只在那个
彼此简并的波函数当中来取
这是简并微扰论
和非简并微扰论的
很大的区别
那么刚才的那个久期方程
应该是它所满足的一个
k 阶代数方程
一般而言
是有 k 个解的
这就是 k 个一级微扰能的值
当然这 k 个值会有
不同的情形
比如说
它们各不相同
也就是久期方程作为一个
k 阶代数方程
每一个根都没有重根
那么我们就看到
原来它是有 k 重简并的
而加入了微扰之后
出现了
k 个不同的一级微扰修正
因此我们称它的
简并度被完全消除
当然也有可能是
另外一种情形
那就是
它的一部分的值是重根
那么这个时候
就会出现某一些
微扰一级能仍然有简并
这种情形我们称
En(0) 的简并度是
部分地被消除
刚才我们介绍的是
一级微扰能和
零级波函数的求法
当然我们也可以问
更高级的微扰能
和微扰波函数的求法
由于现在
有简并的这种情形
和无简并的情形
是不一样的
所以相应的方法
也需要做一些修正
但是我们在这里
不再做更详细的介绍了
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
