当前课程知识点：量子力学（下） > 第十一章 微扰论 > § 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形 > 11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
下面我们就从
一级微扰论的解
开始研究
就是求出一级微扰能
和微扰波函数
顺便可以研究
微扰论近似适用的条件
这里要强调一下
所谓的微扰论
要认准H(0)的某一个能级
当然这里就可能出现
两种情形
就是所谓的无简并
和有简并的情形
我们先处理的是
没有简并的情形
那意思就是说H(0)的
属于我们所选择的
这个能级的本征态只有一个
然后我们就要来解一级方程
这个时候
我们就利用一下叠加原理
因为按照我们的假设
H(0)的是全体本征函数
构成这个系统的
希尔伯特空间的基底
因此我们可以把
一级微扰修正波函数ψn(1)
按照这个函数系进行展开
就是把
ψn(1)写成ψm(0)的线性组合
前面有这样的系数
记作a右下角nm右上角1
这里要注意这个n
是我们选定的一个能级
而m是要求和的那个指标
所以这个系数n要有
下面的两个角标来表征
我们就把这样的一个和式
代入到一级微扰方程
事实上这个方程的左边
是括号里边的H(0)-En0
作用于这个ψn(1)
而由于这是常数
所以这两个算符和能级
可以直接写在波函数的前边
而右边不出现ψn(1)
而出现的是
这样的一个算符和值的组合
作用于ψn(0)
现在我们看一看
这个式子的左边
那么就可以注意
实际上
这个ψ(0)是H(0)的本征函数
但是不要忘记
它的右下角却是m
也就是被求和的那个指标
所以如果应用一下
ψ(0)的满足的方程
我们就可以把这个式子写做
左边仍然是一个求和
这里直接写的是
ψm(0)的这个态的能量本征值
因此是Em(0)
后面这一项其实没有变动
等式的右边也没有变动
于是我们就发觉
实际上这样的一个方程
可以看作是
在H(0)的本征函数系
就是ψ(0)的这套函数上展开
所得到的一个等式
只不过左边是有求和的
而右边出现的是
这样的一个算符与数值组合
对其中的一个波函数的作用
由此我们就可以想到
从这个方程可以利用一下
这套本征函数系的
正交归一性
具体的说那就是
在这个等式的两端
都乘以ψk(0)的复共轭
这里的k又是独立于
n m这些指标的
一个独立选择的指标值
然后就可以注意
这一套函数系是正交归一的
因此当我把
这个函数的复共轭
乘到这里的时候
由于a E等等都是常数
这个函数
直接可以乘在ψm的左边
然后再进行积分的话
就发觉
事实上当我们用这个函数
乘在方程左边的时候
它可以跳过所有这些常数
直接出现在这个ψm(0)的左方
而由于这里是复共轭
因此它们的积分
是直接的可以利用
这个函数系的正交归一性
然而对于等式右方而言
要注意H′是一个算符
因此当我们把这个
复共轭波函数乘上来的时候
它必须保留在H′
这个算符的左边
至于说第二项
就没有问题了
因为它这里出现的
是一个常数
这个函数直接的可以写在
这个波函数的左边
注意到所有的这些限制
我们就发觉
这里实际上出现的是
只有当m=k的时候
这个积分才是1而不等于0
其它的所有的积分
都是等于0的
因此事实上
这样的一个对指标m的求和
只当m=k的时候才会出现
所以左边的这个求和
只剩下了一项
那就是
把这里边的m都取做k
所得到的那一项
至于说等式的右边
对于H′的这一项而言
必须把它保留在H′的左方
并且完成这个积分
这就是右方的第一项
而右方的第二项
意味着当k=n的时候
这个积分是1
k≠n的时候
这个积分是0
因此这里出现这样的一个
δ符号
其中的系数就是这里的En(1)
可以注意
k是一个独立的指标
也就是说
我们可以任意的去选择
它的值
那么在这个时候
我们就可以考虑两种情形
一种情形是选择这个k=n
那么
我们再回到这个式子来看
就发觉当我让k=n的时候
这两项恰好是相同的
而互相减掉
因而实际上等式的左方
变成了0
而且当k=n的时候
这个δkn是1
于是你就发觉
这恰好就给出了En(1)的值
也就是这个积分
这就是我们写下的这个式子
这个式子如果用
狄拉克符号来写的话
那就是
ψn(0)的右矢被H′作用之后
再和ψn(0)的左矢去求内积
那么大家知道
事实上这叫做H′这个算符
在ψn所构成的
这个基底当中的矩阵元
它的两个下角指标相等
也就是说
是这个矩阵的对角元
而另外一个说法就是H′
在ψn(0)这个态上的平均值
这样一来
我们就对于一级微扰能
有了一个很直接的理解
至于说一级微扰波函数
我们就要考虑选择k
不等于n的这个情形了
我们仍然回到
刚才的这个式子
当我选择k≠n的时候
那么这里并不等于0
而这一项却变成了等于0
因为这里是δ符号
我们再把这样的一个差
除到等式的右边来
恰好得到的是这个系数的值
这就是我们下面给出的
这样的一个式子
就是a右下角是n k
右上角是1
表示一级微扰修正
它是这样一个比值
上边是一个这样的积分
下边是两能级之差
而这个积分按照算符
在给定表象下的
矩阵元的定义
它不是别的
就是H′的右下角
指标为k n的矩阵元
下面是两个0级能量的差
当然这个式子
只适用于k≠n的情形
事实上这样的一个矩阵元
既可以写成这样的积分
也可以用狄拉克符号的形式
写成这样的内积
但是由于我们前面采用了
让所有的
高阶微扰修正波函数
都和零级波函数
正交的这个约定
所以说
事实上这个系数是等于0的
这样一来
一级微扰波函数的全部系数
都已经得到了
那就是
这里有确定的表达式
而单独的这一个事实上是零
于是我们就可以把
一级微扰波函数
完整的写下来
它是一个这样的求和
当m≠n的时候
是这样的一个系数
乘以相应的0级波函数
而当m=n的时候
这个波函数并不出现
所以说
我们用这样的一个符号
就是求和符号上面
打一撇来代表
事实上
这个求和当中
不包含m=n的项
现在我们已经对于
一级微扰能
和一起微扰波函数的结果
有了一个完整的认识
所以我们可以来讨论一下
微扰论在什么条件下
是适用的
乍想起来
我们有了一级微扰能
如果说你这个扰动很小
似乎应该
要求一级微扰能的大小
远小于0级能量的大小
但是这样的一个要求
事实上是不适当的
因为我们现在考虑的是
非相对论的量子力学
能量尤其是势能的定义
实际上允许把0点
任意地进行移动
这样一来
所谓的0级能量的大小
事实上没有一个
完全确定的标准
我们应该从另外一个方面
来考虑问题
那就是
一旦微扰哈密顿量被加上来
波函数当然就会
产生一定的变化
而波函数的变化的大小
却是可以在绝对的意义上
来理解的
所以
根据一级微扰波函数的
这个表达式
我们应该认为
这些系数都是小量
于是我们提出
微扰论适用的这个条件
就是这样的系数的绝对值
小于小于1
这就解释了
所谓的微扰哈密顿量
远小于0级哈密顿量的
准确的意义
但是从这样的一个
微扰论适用条件
我们却发现了一个所谓的
能级距离带来的影响
因为如果
这个表达式里边的分母
是比较小的话
也就是说
H(0)的能级比较密集的话
那么
即使H′的矩阵元是小的
这二者的比值也未必很小
因此微扰论的适用条件
就不大容易满足
所以当我们碰到
H(0)的能级发生
比较接近的简并的情形的话
对于微扰论的应用
要特别小心
尤其是
假如H(0)的能级直接有简并
因而某两个能级的能量
是相同的
我们一定要记住
这个时候必须转而采用
在下一节将要介绍的
简并微扰论的方法
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
