当前课程知识点：量子力学（下） > 第八章量子力学的矩阵形式 > 8.2量子力学的矩阵形式 > 8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

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8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程在线视频

8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

下一节:8.2.2 离散表象中本证方程的解法

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8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程课程教案、知识点、字幕

上一节我们介绍了

如何用矩阵的形式

来表达量子态和算符

现在我们把整个的量子力学

用矩阵形式

重新来表达一下

为了理解这个问题

我们先把在离散表象里边的

量子力学的各个方程

重新写一下

原来我们所熟悉的

量子力学的形式

是坐标表象的

现在

我们把它换到离散表象来

在这个表里边的

左边这一列

是大家所熟悉的

坐标表象里的

量子力学的各个对象

比如说

一个量子态

用一个波函数来表达

这个波函数

还会有的时候用到它的

复共轭

算符是一个包含坐标

以及对于坐标的

微分的运算

因此

算符作用在一个态

会得到一个新的态

在很多情况下

要通过这样的

波函数的乘积的积分

称之为内积给出一些数值

等等

那么右边这一列

就完全对应着

把左边的这些对象

重新换到矩阵形式来表达

比如说

波函数现在变成一个列矢量

波函数的复共轭

现在变成一个行矢量

原来的对坐标

以及坐标微分的这种运算

现在用一个矩阵来表示

因此

算符作用在态上

就变成了一个

矩阵的乘法

完全类似地

由两个态构造它们的内积

现在也变成了

矩阵的乘法

因为

这个是一个行矢量

这个是一个列矢量

它们两个乘起来以后

就成为一个数

好

那么现在

我们已经做好了准备

把量子力学里边的各种方程

重新在离散表象里边

把它表达一下

比如说

第一个对象

叫做态的归一

只要回忆这个态的归一

无非就是让

一个态和它自己的

内积等于 1

因此就变成了一个给定的

矢量 ψ 的列矢量

和行矢量合在一起乘一下

让它等于 1

有的时候

我们有两个不同的态

要求它们是正交的

那么完全类似地

也构成一个这样的乘法

这是一个列矢量

这是一个行矢量

代表两个不同的量子态

而让这个乘积

等于 0

第二个

假如我们想计算

某一个力学量的平均值

那么

在这个 ψ 已经归一的情况下

只需要构造一个这样的一个

三个矩阵的连乘

那就是这个

ψ 代表的是一个列矢量

这个 F 代表的是一个方矩阵

这个 ψ 的厄密共轭

代表的是一个行矢量

把这样的矩阵乘法完成之后

出现的就是一个数字

它就代表了

这个力学量 F

在这个态 ψ 上的平均值

另外一个

还有很重要的应用的一个

量子力学的方程

是本征方程

那么

它就写成 Fψ=λψ

这里要注意

这个 ψ 是一个列矢量

F 是一个方矩阵

而这个 λ 只是一个数字

所以说

把左边的矩阵乘法完成之后

其实它的结果也是一个

列矢量

这个等式是一个列矢量等于

另外一个列矢量的等式

这就是在矩阵形式之下的

本征方程

然后

我们就说到了薛定谔方程

如果写的是

含时间的薛定谔方程的话

那么左边就是

iℏ 乘以 ψ 对时间的导数

注意

这个地方的 ψ 是一个列矢量

也就是列矩阵

它的每一个元素

都只是时间的函数

所以说

在这个意义上

它是一个单元函数

我们用的是 d

来表达这个微分

方程的右边

就是哈密量矩阵

作用于这个列矩阵

这就是矩阵形式的

薛定谔方程

刚才我已经在各个地方

都强调了一下

凡是遇到乘法都是理解为

矩阵乘法

而它的规则

叫做行乘以列

量子力学（下）课程列表：

第八章量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换量子力学的幺正不变性

-第八章量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

-第九章本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数矩阵算符

-第十章电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动

--第十章电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态贝尔基

-第十章电子自旋--第七周的作业

第十一章微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章微扰论--第十周的作业

第十二章散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章散射理论--第13周的作业

第十三章其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子共价键

--第十三章其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位几何相位

8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程笔记与讨论

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