8.1.3 表象变换 量子力学的幺正不变性在线视频

现在我们来研究一个

比较特别的问题

叫做表象变换

我们还是以

一维的情形做为一个例子

刚才我们已经强调

为了构成一个表象

应该首先取定一个

物理量算符

问题是

这种选择

其实是有任意性的

所以

假设我们又取了一个

与原来的那个算符

彼此独立的

另外一个算符

记作R

那么

我们也可以利用这个算符

构造一个表象

也就是说

求出R这个算符的本征值集

我们把它记作

小r右下角指标n

以及和每一个本征值

所对应的本征函数

把它记作v右下角n

是x的函数

那么

我们就构造了

所谓的R表象

我们的问题是

这样的两个表象

有什么样的关系

可以彼此变换呢

首先我们说

在原来的Q表象里边

是有一个基底本征函数系的

而现在我们又有了一套

新的本征函数系

当然它也起到了基底的作用

于是

我们可以考虑

把原来的基底

我们的符号是用

u右下角n来代表的

都用新的基底v右下角n

来展开

就是这样的一个展开式

某一个所选定的u_n

可以写成v的线性组合

但是要注意

我们必须拿不同的v来加

这里就有一个

求和的一个符号

当然不能再用n这个符号

我们把它换成m

因此

右方这个求和式

被求和的指标是m

当然

已给定的一个指标n

把它对v_m做展开的话

这个展开系数

应该和两个指标都有关

那就是

这个n要拿过来

这个求和的m也要写进去

于是

这个组合的系数

实际上是一个

具有两个指标的数字

我们把它记作mn

这里有一个求和的指标

写在哪一个位置的一个

顺序的问题

我们的规定是

这两个求和指标

彼此靠近

意思就是说

m如果在这个位置的话

这个系数S的

求和的那个指标

也靠近它

因而写在左边

而这样的一个系数

按照原来我们所知道的

其实就是一个这样的内积

注意

现在我们是把u_n

对v_m做展开的

因此很容易的知道

这个S_mn是这样的一个内积

v_m在左

u_n在右

另外一方面

如果有一个态ψ

在原来的Q表象里

它的矩阵元是a右下角n

也就是说ψ

对u_n的展开系数是a_n

而另一方面

在R表象里的矩阵元

是a_n′

也就是说

同样一个ψ

在对v_n做展开时候的

展开系数是a_n′

那么

同样一个ψ

对于u_n做展开的时候

出现的系数是a_n

而同时根据

刚才的那个表达式

这个u_n又可以重新用v_m

做展开

把那个展开式带进去

我们就发现了

这个求和式

可以重新写成为一个

这样的表达式

要注意的是

这个求和式

是一个二重求和

一方面对m要求和

这个m出现在这里

另一方面对n也要求和

这个n出现在这里

而根据我们刚才所说的

这个表达方法

它就可以表示成为

这个a_n′

再乘以相应的

v的一个求和式

因此

这个式子也就等于这个式子

两相比较

我们就发觉

新的这个展开式

就是带撇的这些系数

也可以用

原来的展开式里边的

不带撇的系数

经过乘上确定的数字

并且求和而得到

而这里边的这个系数

不是别的

就是刚才

我们所发现的

这个S

但是要注意

当我们原来用这个S的时候

是把基底函数

变过去

它的求和

是对前面的这个

指标求和的

而在这个表达式里边

用的同样是这个S

被求和的指标

却变到了后一个

大家注意

这里的求和指标

是这个n

m是不要求和的

如果我们把这些系数

和这些系数

都排成矩阵

也就是

把同样的ψ

在两个不同的表象里边

写成不同的矩阵表示的话

那么我们发觉

这个式子

其实用矩阵的办法

可以写成这个式子

这个ψˊ

就是这个aˊ的一个列矩阵

这个ψ就是a的一个列矩阵

其实

它们就是同样一个量子态

在R表象和在Q表象里的

那个矩阵

但是

二者之间

在这个等式的右边

要有一个矩阵S出现

并且这里理解成为

矩阵乘法

那么这个S是什么呢

它不是别的

就是这些系数Smn

所排成的那个方矩阵

注意

这里边我们有两个变换

都用到了S

一个是基底的变换

右边我们称之为新基底

左边我们称之为老基底

你这里是把

老基底

写成新基底的线性组合

用到了这个S

但是

别忘了求和的指标

是在这个S下标的左边

而矩阵元的变换

是这个样子的

我们把这个东西

叫做新的矩阵元

这个东西叫做老的矩阵元

这仍然是一个求和

而且也用到了S

但是

要注意

这里被求和的指标

在S的下标里

却是右边的那个指标

所以

我们用一句

线性代数里边的话

其实

这两个变换式里边

用的是同样的一个矩阵的

互相转置的两种形式

这些关系就称为

从Q表象到R表象的

一个表象变换

刚才我们推导的是

态矢量的表象变换的规律

用和刚才的那个分析方法

类似的方法

你就可以证明

在从Q表象到R表象

进行变换的时候

代表力学量的那个算符

所对应的那个矩阵的变换是

下边这个式子

Fˊ是一个给定的力学量

在新的R表象里的那个矩阵

F是同样的力学量

在老的Q表象里的那个矩阵

这二者的关系

是Fˊ等于S

乘以F再乘以S的厄密共轭

这里边的S

就是这个矩阵

而其中的乘法

也都意味着

矩阵的乘法

既然选择两个不同的表象

都是面对着同样的量子态

或者是力学量算符

那么这种所谓的变换矩阵

就应该

满足一定的条件

这样的条件怎么来考虑呢

我们可以从这样的观点

来考虑这个变换

那就是

这样的变换应该

使得量子力学里的

可观察量是不变的

那么问题是

所谓的可观察量

从理论的角度来说

究竟是一些什么量呢

比如说

当我们去做一个波函数的

归一化的时候

求的是

这个波函数

和它的复共轭的

乘积的一个积分

也就是说

是这个波函数

和它自己的一个内积

再比如说

当我们求一个力学量的

平均值的时候

也是一个这样的积分

只不过要把那个力学量算符

比如说F

插在波函数和它的

复共轭之间

再做积分

而这也可以表达成为

态矢量的内积

如此等等

我们可以总体来说一句话

那就是

事实上

量子力学里的基本可观察量

都是通过态矢量的内积

来表达的

所以说

我们提出的要求

应该是

在这种表象的变换之下

内积是一个不变的量

现在我们就假设

取了两个任意的态

一个是ψ

一个是φ

并且

构造出它们在两个表象中的

矩阵元

比如说

在Q表象里边ψ

的矩阵元是a_n

φ的矩阵元是b_n

而在R表象里ψ

的矩阵元是a_nˊ

φ的矩阵元是b_nˊ

那么首先我们可以

写下φ和ψ在

原来的表象的里边的内积

很容易发现

这个内积是

a_n和b_n的复共轭的乘积的

一个求和

同样的道理

在这个新的R表象里

同样的内积也可以写成

aˊ和bˊ复共轭的乘积的

求和

在这个式子里边

为了区分这是两个不同的

求和对象

所以对于求和的指标

这边记作了n

而这边记作了l

当然

这两个式子的最后的结果

其实和n或者l

都是没有关系的

好

现在我们就利用

刚才所写下来的那个

表象变换的公式

也就是说

把带撇的量

不论是a也好b也好

换成不带撇的量的

线性组合

而这里当然要用到

这个矩阵S

因此这样换过来的话

你就发觉这个求和式

变成了一个三重求和式

我们把它写成了对lmn

这三个指标都求和

其中S的复共轭

因为它的目的是

把b的复共轭做变换的

求和的对象

是m对b而言

这有一个S

它是把a做变换的

这里有个求和是n

但是还别忘了

这个S的复共轭

和S自己之间

又有一个求和的指标

这里写作l

那么好

现在我们可以看一看

这个式子的

这一边和这个表达式

做一个对比

那么你就发觉

这里共同的是a

右下角n

和b的复共轭

但是要注意

这里边的m

是在这里的地方是要求和的

而假如要让这个式子

和这个式子

在任意的a b的情况下

都相等的话

那么你就发觉

这两个S

只不过

其中的一个有一个复共轭

并且

乘了之后还要做一个求和

必须重新给出

这个表达式

这样的一比较

你就发觉

得到一个这样的一个式子

我们来看一下

这个式子的构成

它是S和S的

复共轭的乘积的求和

这个求和的指标

对于这两个矩阵而言

都是左指标

我们把它记作l

当然这个式子和

它们的右指标

就是m和n是相关的

结果应该是当m=n的时候

它是1

m≠n的时候它是0

就是这个δ_mn

这就是这个变换矩阵S

应该满足的关系

实际上

如果我们把一个矩阵的

厄密共轭矩阵的

矩阵元的定义

拿进来的话

就发觉

这里的所谓的

S的复共轭右下角lm

正好是

S的厄密共轭矩阵的ml

就是这两个指标交换一下的

那个矩阵元

于是

把这个关系带进来

并且回忆一下

所谓的矩阵乘法的

展开规则

你就发觉

实际上这个式子

就是S的厄密共轭乘以S

等于单位矩阵

因为这个δ_mn

就是单位矩阵的矩阵元

而我们在

线性代数里也学到了

如果两个矩阵乘起来

等于单位矩阵的话

那么

你把这两个矩阵

交换一下位置

所构成的那个新乘法

也等于单位矩阵

所以说

连起来我们可以写出

这样的等式

而它用另外一个语言来说

就叫做

S的厄密共轭

就是S的逆矩阵

满足这种条件的矩阵

被称为幺正矩阵

其实这个术语也来自数学

所以

我们概括的说一句话

那就是

刚才所提到的那个

从一个算符的表象

到另外一个

算符的表象的这种表象变换

是一个通过幺正矩阵

来完成的变换

简称就是幺正变换

事实上

在我们这次讲到

幺正变换之前

我们已经碰到过了

幺正变换的例子

比如说

我们前面讲过

为了得到

一个波函数所包含的

各个动量分量的特点

我们应该从坐标表象

变换到动量表象

而这个变换是幺正变换

前面讲到

系统的对称性的变换的时候

也谈到了系统的对称性变换

是幺正变换

所以

这些都可以成为

表象变换的例子

现在我们来总结一下

表象变换也就是

幺正变换的特点

第一条

幺正变换

不改变任何量子力学方程

事实上

从量子力学的角度来看

一个方程无非是

某一个波函数

等于另外一个波函数

而所谓的这些波函数

完全有可能是

算符作用于波函数

所生成的新波函数

所以说

一般的量子力学方程

其实都具有这种形式

而如果在一个表象里边

你可以写下

这样的量子力学方程

那就是φ等于F作用于ψ

那么

从它就可以导出它

意思是

大家一起从一个老的表象

变成新的表象

所有的新的表象里的对应量

都打一个撇

那么

这些打撇的量

满足同样的方程

为什么会有这个结果呢

我们只需要把表象变换

具体的写下来就可以了

比如说

我们从φˊ开始

那么我们知道

它应该是S乘以φ

而按照原来的方程

这个φ是F乘以ψ

所以说

继续往下写

这里就是S乘以F乘以ψ

然后我们有一个技巧

在这二点之间

插进去一个单位矩阵

或者说叫做恒等算符

而根据

S这个矩阵的幺正性

S^-1乘S就是单位矩阵

而这个S^-1也就是S的逆

其实就是S的厄密共轭

因此

你把这三个矩阵

乘出来得到的就是F的变换

也就是Fˊ

而这两个乘起来

自然就出现了ψˊ

于是你就得到了φˊ

等于Fˊ乘以ψˊ

也就是说

在新的表象里

这个量子力学方程

是没有任何改变的

而刚才我们已经提到了

幺正变换

不改变态矢量的内积

而比如说

象算符的本征值

算符的平均值

力学量的几率分布等等

都是由内积来决定的

因此

幺正变换

也不改变所有的这些数值

总体来

我们可以说一句话

就叫做

幺正变换完全不改变

量子力学理论的结构

因为

量子力学里的全部的方程

都保持它的形式不改

也不改变

理论对实验观察的预言

因为

实验上可以观察的这些量

例如本征值

几率分布

平均值等等

在幺正变换之下

也都不改变

所以

总体来说

幺正变换

不会改变

量子力学这个理论的本质

这个我们称之为

量子力学理论的

幺正不变性

其实

这也就是量子力学理论的

表象无关性

也就是说

尽管同样一个物理系统对象

同样的物理现象

可以用不同的表象

来表达来分析

但是

回到理论对实验观察的

预言的这个角度来看

其实它们都是完全相同的

事实上

我们应该说

这种幺正不变性

在有的时候

也就把它简称为

幺正性

是量子力学的

最根本的不变性

这样的一个不变性

希望同学们牢牢记住