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9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符在线视频

9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

下一节:9.1.1 续

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9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符课程教案、知识点、字幕

这章我们来介绍

量子力学的另外一种

代数方法

用这种方法来回答一些

本征值问题

这种方法叫做

算符代数的方法

第一节我们先来介绍

求解线性谐振子的

本征方程的阶梯算符的方法

首先来介绍一下

什么是阶梯算符

由于我们现在利用的是

算符代数的形式

所以我们此后都采用

狄拉克符号

线性谐振子的哈密顿量

用算符来表达

就是

Ĥ = 1/2m p̂² + 1/2 mω²x̂²

这里的 Ĥ, p̂ 和 x̂

都是算符

也就是顶上

都打了一个帽子符号

注意

我们现在并不特殊地指定

比如 p̂ 和 x̂

是采用什么表象来表达的

所以这里你只需要记住

这些是算符

就够了

现在我们引进一个新的算符

大家来看一看

它的构成

这个新的算符记作 â

前面有一个 1/√ 2

里边是

x̂ 算符和 p̂ 算符的一个组合

x̂ 算符前边的这个系数

就是一个正实数

然而

p̂ 算符前面的这个系数

是虚数单位 i

乘以一个正实数

大家马上会发现

这个算符并不是厄密算符

因为

这里出现了虚数单位 i

尽管 x̂ 和 p̂

都是被假设为

厄密算符

我们来看一看这个算符的

厄密共轭

其实这是很简单的

那就是

把这里的 +i

变成 -i

由于 x̂ 和 p̂

被认为是厄密算符的

所以这两个算符是

厄密共轭的关系

前面已经介绍过

表达算符性质的一个

很重要的方面

是它们的对易关系

因此

我们现在要来计算一下

这两个算符的对易关系

它的出发点是利用

x̂ 和 p̂ 这两个算符的

对易关系

而这个对易关系是

量子力学的基本假设

就是

x̂ 算符和 p̂ 算符的对易括号

等于 iℏ

这样一来

我们把 â 和 â†

这两个算符

用 x̂, p̂ 来表达的这个定义

代到下边这个

â 和 â† 的

对易括号里边去

再利用这个基本对易括号

就很容易证明

â 和 â† 的对易括号

按照定义

它就是 â 乘以 â†

减去 â† 乘以 â

那么

这个对易括号的计算结果

是一个简单的 1

事实上

这样的一个对易关系

就决定了

这两个算符此后

所扮演的角色

底下我们马上就可以发现

由于我们的哈密顿量 Ĥ

是用 x̂ 和 p̂ 这两个算符

来表达的

所以说

我们要把刚才那个变换的

反变换也把它找出来

也就是

用 â 和 â† 的组合

表达 x̂ 和 p̂

第一个式子很容易的

只要把它们两个加起来

你就发觉

它就正比于 x̂ 这个算符

只不过呢差一个这样的因子

而 p̂ 算符的重新表达

在这里要做一个减法

当然

由于 â 和 â†

是厄密共轭的关系

所以做了这样的减法之后

要想重新得到一个

厄密算符

前面就应当出现一个

虚数单位 i

因此

p̂ 是一个虚数单位 i

再乘上一个实的系数

括号里边

是 â - â†

用这样的两个表达式

再代入

刚才的那个

哈密顿量算符里边去

于是就可以把

哈密顿量算符

写成 â 和 â† 的

一个表达式

写出来是这个样子的

这里有 1/2, 括号里边是

â†â + ââ†

这里写的 ℏω

当然是代入过程当中

自动地产生的

不妨把它看成一个

能量的一个单位

这两项很容易发觉

它们都是自厄密的

由于我们前面已经有了

â† 和 â 的对易关系

所以说

实际上这两项

并不是线性独立的

我们可以把

â 乘以 â†

重新用

â†â + 1 来写

因而

实际上

这个 Ĥ 也可以写成

â†â + 1/2

然后有一个能量单位

就是 ℏω

刚才所引入的这些算符

都有一些固有的名称

以后

如果同学们有机会

去进一步学习量子力学的话

会学到所谓二次量子化

在这个形式里边

â†â 这个算符

常被记作 N̂

并且称它做

粒子数算符

因此

利用 N̂ 的这个表达

我们就重新可以把 Ĥ

写成括号 N̂ + 1/2

然后一个能量单位 ℏω

同时我们还要做更多的

对易括号

因为

现在我们有了一个新的算符

是 â†â

于是我们就应该问

这个算符和 â† 的

对易括号又是什么呢

把这个定义代进去

就变成一个

这样的对易括号

而它的计算

要回忆我们以前介绍过的

所谓算符乘积的

对易括号的展开法则

那就是

把这两个乘积当中的

一个因子不动

把另外一个因子拿出去

其实这个展开式

应该有两项

一项是

â 不动, â† 向左拿

另外一项是

â† 不动, â 向右拿

但是很明显

第二项出来的是

â† 和

â† 自己的对易括号

它是 0

所以说

事实上只有这项留下来

而刚才我们已经计算过

这个对易括号是 1

因此

N̂ 和 â† 的对易括号

其实就是 â†

当然我们还要计算

N̂ 和 â 的对易括号

也就是这个对易括号

类似于刚才的

展开的办法

它只剩下的一项是

â†, â 的对易括号

右边有一个

那么别忘了

如果这个对易括号是 1 的话

那么

这个对易括号是它的负号

也就是 -1

因此

N̂ 和 â 的对易括号是 -â

事实上

决定 â† 和 â 的

作用的等式

主要就是这两个对易关系

由于我们主要关心的是

Ĥ 的本征值和本征函数

而现在 Ĥ 的表达式里边

出现了 N̂

所以现在我们先来研究

N̂ 的本征方程

我们把它写成

算符 N̂ 作用于态矢量 |n>

等于 n 乘以态矢量 |n>

这里边的 N̂ 是算符

而 n 仅仅是一个实数

把这个 n 写在

狄拉克右矢符号的里边

是表明

这个态矢量

是 N̂ 算符的

本征值为 n 的本征矢量

好

现在我们就把

刚才所做的那两个

对易关系改写一下

前面一个对易关系是

N̂ 和 â† 的对易关系

当然它应该包含两项

是这一项和这一项之差

但是我把

这一项挪到等式右边来

于是就变成了 N̂â†

等于 â†N̂ + â†

前边的第二个对易关系

可以重新写成为

N̂â = âN̂ - â

好，现在我们就把

这样的两个式子

作用于这个本征态

那意思就是说

让这个等式的两端

都作用于这个本征态

让它仍然成立

好

我们先来看

这个式子

让它作用于

|n> 这个本征态

自然就等于右边的这个

作用于 |n> 这个本征态

于是我们就要利用一下

这个定义

那就是

它是 N̂ 这个算符的

本征值为 n 的

一个本征态

因此

实际上

它就变成了

最后剩下来的是 â†

作用于这个本征态

只不过它的前边

乘上了一个数字的因子

而这个数字的因子

就是 (n+1)

这个 n 就来自 N̂ 算符

对于这个本征态作用

完全类似地

把这个式子的两端

同时作用于本征态 |n>

再利用一下

这个性质

你就发觉

现在它出来的是

(n-1)

乘以这个 â 算符作用于 |n>

好

现在我们从

这个式子的

最左端看到最右端

如果我把 â†|n>

用括号括起来的话

把它看成

某一个态矢量

那么

你就发觉

N̂ 这个算符

作用于这个态矢量

就等于一个常数

乘上同样的这个态矢量

而这个常数是 (n+1)

完全类似地

你可以把这个等式的最左端

里边的 â 作用于 |n>

看作有一个括号

于是就变成了

N̂ 算符

作用于这样的一个态矢量

等于一个常数

乘上同样的态矢量

而这个常数是

(n-1)

那么我们怎么来理解

这两个结果呢

很显然

它就意味着

â† 作用于

|n> 态矢的这个新的态矢

事实上

是 N̂ 那个算符的

本征值为 n+1 的

一个本征矢量

我这里只写了一个正比于

意味着

左边的这个矢量

和右边的这个矢量

可能有一个常数因子的差别

完全类似地

刚才的第二个式子

意味着

â 作用于 |n> 态矢

正比于 N̂ 那个算符的

本征值为 n-1 的态矢量

这样一来

在刚才我们所介绍的

二次量子化的

那个意义里边

â† 称为粒子的

产生算符

因为它把粒子数加了一个

而 â 称为粒子的湮灭算符

因为它把粒子数减了一个

如果我们仍然回到

目前的量子力学的

谐振子问题的话

我们关心的是

谐振子的能量本征态

和本征值

那么 â†

可以称之为

把谐振子的能量本征态

提高了一级

因为这里是 n+1

而 â 把谐振子能量本征态

降低了一级

因为这里是 n-1

因此它们就分别称之为

升级算符和降级算符

合起来称之为阶梯算符

这就是我们这一节

所称之的

求解谐振子本征值问题的

阶梯算符方法的主要的精神

量子力学（下）课程列表：

第八章量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换量子力学的幺正不变性

-第八章量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

-第九章本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数矩阵算符

-第十章电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动

--第十章电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态贝尔基

-第十章电子自旋--第七周的作业

第十一章微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章微扰论--第十周的作业

第十二章散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章散射理论--第13周的作业

第十三章其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子共价键

--第十三章其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位几何相位

9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符笔记与讨论

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