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9.2.2 角动量的阶梯算符在线视频

9.2.2 角动量的阶梯算符

下一节:9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

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9.2.2 角动量的阶梯算符课程教案、知识点、字幕

为了求解角动量算符的

本征值和本征态

我们引入角动量的

阶梯算符

角动量的阶梯算符有两个

一个是 Ĵ₊

它的定义为 Ĵ_x + iĴ_y

另外一个是 Ĵ_-

是 Ĵ_x - iĴ_y

那么这两个阶梯算符的

厄密共轭算符

分别是

Ĵ₊ 的厄密共轭算符等于 Ĵ_-

Ĵ_- 的厄密共轭算符等于 Ĵ₊

我们不难得到这样的结果

因为

Ĵ_x 和 Ĵ_y 都是厄密算符

我们也同时看到

阶梯算符并不是

厄密算符

我们也不难证明

Ĵ_z 和阶梯算符的

对易括号等于 ±ℏĴ_±

证明如下

我们将阶梯算符的定义

代入到这个阶梯符号中

我们得到这样的两项

我们再利用角动量的

一般定义

得到

Ĵ_z 和 Ĵ_x 的对易括号

等于 iℏĴ_y

Ĵ_z 和 Ĵ_y 的对易括号

等于 -iℏĴ_x

合并之后

我们就得到了

Ĵ_z 和 Ĵ_± 的对易括号

等于 ±ℏĴ_±

因此我们就证明了

刚才的结论

我们也可以证明

角动量平方算符

和阶梯算符的

对易括号等于 0

就是说

角动量平方算符

和阶梯算符是对易的

这个原因也比较简单

就是因为角动量平方算符

和角动量算符的

任何一个分量

都是对易的

这两个对易括号的结果是

非常重要的结果

我们将这两个对易括号

作用到本征态 |ηm> 上

左侧有两项

一项是 Ĵ_zJ_±

作用到本征态 |ηm>

再减去 Ĵ_±Ĵ_z|ηm>

我们将这其中第二项

挪到等式的右侧

对于下面这个对易括号

我们也同样做

这有两项

第一项是 Ĵ²Ĵ_±

作用到本征态 |ηm>

减去 Ĵ_±Ĵ²

作用到 |ηm>

我们也将这其中的第二项

挪到等式的右侧

这样我们就得到了

这样的两个式子

我们再利用

角动量的本征方程

及 Ĵ_z|ηm>

等于它的本征值

mℏ|ηm>

这样我们合并这两项

就得到了

下面的结果

等于 (m±1)ℏ

再乘上 Ĵ_± 作用到

本征态 |ηm> 上

我们看到 Ĵ_±

作用到 |ηm> 上之后得到的

量子态

仍然是

角动量算符 z 分量的

本征态

它的本征值是 m±1

乘上 ℏ

或者说

Ĵ₊ 作用到 |ηm> 上

使得 Ĵ_z 的本征值上升了 ℏ

Ĵ_- 作用到 |ηm> 上

使得 Ĵ_z 的本征值下降了 ℏ

因此我们也称

Ĵ₊ 是上升算符

Ĵ_- 是下降算符

对于第二个式子

我们同样利用

本征方程

即角动量平方算符

作用到本征态 |ηm> 上

等于 ηℏ²|ηm>

这样我们就得到了

这样一个结果

我们看到

Ĵ_± 作用到 |ηm> 上

之后得到的量子态

仍然是角动量平方算符的

本征态

它的本征值

仍然是 ηℏ²

这就意味着

Ĵ_± 作用到 |ηm> 上之后

得到的量子态

正比于 |η,m±1>

正如刚才

我们所说过的那样

Ĵ₊ 是 Ĵ_z 的上升算符

Ĵ_- 是 Ĵ_z 的下降算符

而且 Ĵ_z 的本征值

上升和下降的公差都是 ℏ

但是它们并不改变

角动量平方算符的本征值

Ĵ₊ 和 Ĵ_- 的对易关系

是这样的

Ĵ₊ 和 Ĵ_- 的对易括号

等于 2ℏĴ_z

证明如下

我们将 Ĵ₊ 和 Ĵ_- 的定义

代入到对易括号中

这样这个对易括号

就可以分解成

四个对易括号

但是其中的两个对易括号

即 Ĵ_x 和 Ĵ_x 的对易括号

Ĵ_y 和 Ĵ_y 的对易括号

等于 0

因此我们只得到

两个对易括号

一个是 -i

Ĵ_x 和 Ĵ_y 的对易括号

加上 i[Ĵ_y, Ĵ_x]

这两项实际上是相等的

因此结果就等于

负的两倍的

i[Ĵ_x, Ĵ_y]

而且 [Ĵ_x,Ĵ_y]

等于 iℏĴ_z

因此总的结果就是

2ℏĴ_z

现在

我们可以将角动量平方算符

用 Ĵ₊, Ĵ_- 和 Ĵ_z 来进行了分解

首先角动量平方算符

等于 (Ĵ₊Ĵ_- + Ĵ_-Ĵ₊)/2

再加上 Ĵ_z²

从 Ĵ₊ 和 Ĵ_- 的定义

我们可以看到

这个第一项

实际上就等于 Ĵ_x² + Ĵ_y²

然后我们再利用

刚才推导出来的

Ĵ₊ 和 Ĵ_- 的对易关系

得到如下的两个表达形式

一是 Ĵ_-Ĵ₊ + Ĵ_z² + ℏĴ_z

或者等于 Ĵ₊Ĵ_- + Ĵ_z² - ℏĴ_z

在这里引入的阶梯算符

其实也来自算符的因式分解

因为我们如果注意到

角动量平方算符减去 Ĵ_z²

等于 Ĵ_x² + Ĵ_y²

那么我们所定义的阶梯算符

实际上

就是 Ĵ_x² + Ĵ_y² 的因子算符

量子力学（下）课程列表：

第八章量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换量子力学的幺正不变性

-第八章量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

-第九章本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数矩阵算符

-第十章电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动

--第十章电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态贝尔基

-第十章电子自旋--第七周的作业

第十一章微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章微扰论--第十周的作业

第十二章散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章散射理论--第13周的作业

第十三章其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子共价键

--第十三章其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位几何相位

9.2.2 角动量的阶梯算符笔记与讨论

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