当前课程知识点：量子力学（下） > 第九章 本征值问题的代数方法 > § 9.3 角动量的合成 > 9.3.1 角动量合成的一般规则
9.3节
我们介绍角动量的合成
我们先讲
角动量合成的一般规则
我们会在很多情况下遇到
角动量的合成
在本节中
我们只讨论
角动量合成的一般规律
而不注意那些角动量的
具体物理背景
所以我们将采用狄拉克符号
来表示量子态
设J1和J2
是两个互相独立的角动量
这就意味着
它们的分量
分别满足角动量的对易关系
而且这两个角动量之间
是对易的
也就是说
J1i和J2k是对易的
并且对于所有的i和k
J1和J2的矢量和记为J
J=J1+J2
J的x分量
就等于J1的x分量
加上J2的x分量
以此类推
我们不难证明
合成之后的物理量J
仍然是角动量
因为它的分量
满足角动量的对易关系
这就告诉我们
互相独立的角动量
可以相加
相加之后的物理量
仍然是角动量
我们从角动量的
一般定义出发
也可以证明
角动量
乘上一个不为1的数
就不再是角动量了
从这里我们可以看出
量子力学中的角动量
和经典的矢量
还是有很大的差别的
从未耦合
也就是J1和J2
末相加的角度看来
这个体系的完备算符集
是J12 J1z J22和J2z
它的同时本征态是通过
两组量子数
J1 m1和J2 m2来表示
之间用分号隔开
这是这个本征态
在狄拉克算符下的
表示形式
希尔伯特空间的总维数是
2j1+1乘上2j2+1
那么我们的问题是
角动量耦合以后
体系的
完备算符集变成什么呢
现在完备算符集中
当然要包括
角动量平方的算符
以及角动量算符的z分量
而且我们不难验证
J1z和J2是和J2不对易的
而J12和J22却是和
J2 Jz都对易
因此新的完备算符集
就变成了 J2 Jz和 J12 J22
它们的共同本征态
就由两组量子数
j m 和j1 j2来表示
中间用分号隔开
它满足以下的本征方程
J2作用到这个本征态上
等于它的本征值
j乘上j+1乘上ℏ2
乘上这个本征态
Jz作用在这个本征态上
等于本征值mℏ
乘上这个本征态
J12作用到这个本征态上
等于本征值j1乘上j1+1
乘上ℏ2乘上这个本征态
同理
j22作用到这个本征态上
等于本征值j2乘上j2+1
乘上ℏ2乘上这个本征态
根据叠加原理
耦合后的量子态
j m j1 j2
是未耦合的本征态
j1 m1 j2 m2的线性组合
数学的表达式
就是这个样子的
其中这个求和是
m1从-j1到j1
m2从-j2到j2的二维的求和
其中的系数C是和
j1 j2 j m1 m2 m
相关的一个数
这个系数用狄拉克符号
来表示
它就是
未耦合的本征态j1 m1 j2 m2
和耦合后的量子态
j m j1 j2的内积
这些系数叫做
Clebsch-Gordan系数
简称为CG系数
在实质上
从未耦合表象
到耦合表象的变换
是一个幺正变换
CG系数
就是这个幺正变换的矩阵元
我们现在要解决的问题
是j m和j1 m1 j2 m2
有什么样的关系
第二
CG系数的值到底是多少
我们下面
将角动量算符z分量
Jz也就J1z+J2z
作用于耦合后的量子态
展开为
被耦合的本征态的线性组合
我们就得到下面的公式
其中左侧将Jz
作用到耦合后的量子态上
等于它的本征值
m乘上ℏ
再乘上这个耦合后的量子态
右侧是J1z+J2z
作用到未耦合的本征态上
得到的本征值是m1ℏ+m2ℏ
两边的ℏ都已经消掉了
接下来
我们将等式的左侧
移到右侧
并且将耦合后的量子态
展开为
被耦合的本征态的线性组合
那么我们就得到了
下面的这个公式
由于未耦合的本征态
是线性无关的
那么要使这个等式成立
它之前的系数
必须等于0
也就是m-m1-m2再乘上
这个CG系数等于0
那么从这个条件
我们可以看到
只有当m=m1+m2时
CG系数才有可能不为0
或者换句话说
如果m≠m1+m2
CG系数一定为0
这就是刚才我们说到的
其次
在一个特殊的状态下
未耦合的本征态
和耦合的本征态
是相同的
这个状态就是最大投影态
也就是
当m1的取值是最大值j1
m2的取值是最大值j2
m的取值是最大值j的时候
这个最大值j
我们定义为jM
在最大投影态下
未耦合的本征态j1 j1 j2 j2
就等于耦合后的量子态
jM jM j1 j2
我们注意到角动量平方算符
定义为(j1+j2)2
就等于j12+J22加上两倍的
j1和j2的点积
这两倍的j1和j2的点积
就可以写成2倍的j1x乘上j2x
加上2倍的j1y乘上j2y
加上2倍的j1z乘上j2z
那2倍的j1x乘上j2x
加上2倍的j1y乘上j2y
就可以写成j1+乘上j2+
加上j1-乘上j2+
这是由于阶梯算符的定义
得到的
我们将它
作用到最在投影态上
我们就得到
角动量平方算符
作用到耦合后的量子态
根据它的本征方程
应该等于jM乘上jM+1
乘上ℏ的平方
再乘上这个最大投影态
我们注意到
角动量平方算符可以分解为
j1和j2算符的组合
这个最大投影态
也等于未耦合的本征态
j1 j1 j2 j2
因此我们将这个分解式
作用到未耦合的本征态上
我们应该得到同样的结果
通过这个结果的对比
我们就可以得到
jM和 j1 j2之间的关系
我们现在先把这个分解式
作用到
被耦合的本征态上
j1 j1 j2 j2
我们就得到这样的一个等式
那么
其中第一项
根据本征方程
就得到j1 乘上j1+1乘上ℏ2
第二项也根据它的本征方程
等于本征值j2乘上j2+1
乘上ℏ2
第三项
由于j1和j2是对易的
因此我可以写成j2-乘上j1+
那么j1+作用到最高投影态上
应该等于0
同理
第四项
作用到最高投影态上也为0
因为j2不能再增加
最后一项
作用到最高投影态上
应该等于2倍的
j1z的本征值及j1ℏ乘上
j2z的本征值j2ℏ
合并同类项
我们就得到
最后的结果
j1+j2乘上j1+j2+1
乘上ℏ的平方
再乘上这个最高投影态
对比之前的结果
我们就得到了
jM和 j1和j2之间的关系
也就是说
jM=j1+j2
这显然是z的最大本征值
也就是说
j是小于等于它的最大值jMax
是等于j1+j2
由于m1和m2的其它值
总是以公差1从它的最大值
j1和j2递减的
所以
j的可能值也以公差1递减
那么我们的问题是
j的最小值jMin是多大呢
我们可以通过分析
希尔伯特的总维数得出
从耦合以后的角度来看
对于量子数j
它的维数是2j+1
因此总的维数
就是将所有可能的
j对应的维数加起来
j从它的最小值jMin
增加到它的最大值jMax
这个求和
我们可以容易的得出
等于jMax+1的平方
减去jMin的平方
其中jMax
我们已得到它的结果是j1+j2
因为希尔伯特空间的总维数
并不依赖于
采用什么样的完备算符集
所以耦合之后的总维数
应该等于未耦合的总维数
即2j1+1乘上2j2+1乘
这样我们就可得到
jMin2=(j1-j2)2
或者说
jMin 等于j1-j2的绝对值
我们的结论就是
j的取值范围
是从它的最大值j1+j2
以公差为1递减至
它的最小值j1-j2的绝对值
再加上前面所得到的
m=m1+m2
这就是CG系数
不为0的所必须满足的条件
这个法则
是量子力学中的重要法则
实质上
它是一种选择定则
习惯上说
它类似于矢量相加的
三角形法则的结果
因为三角形的三条边
abc必须要满足三角形关系
即其中的一条边a
大于等于另两条边之差
b-c的绝对值
小于等于
另外两条边之和b+c
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
