*13.3.4 贝里相位 几何相位在线视频

在绝热近似之下

我们的主要的注意力

就应该放在

某一个选定的瞬时本征态

前边的那个

随时间变化的相位因子

而这样的相位因子

有两个部分

其中的一个部分

是和能量本征值

随时间的变化的积分有关的

这个因子

我们把它称之为

动力学相因子

因为

如果 H 不随时间而改变的话

那么这个积分实际上就是

-iE_nt/ℏ

大家马上发觉

这正是原来我们写

和时间有关的波函数

对本征态的展开的时候的

那个相因子

所以说

即使 H 不随时间而改变

这个相因子总是存在的

和 H 与时间相关

没有决定性的联系

而另外一个相因子

就不一样了

因为它明显地决定于

能量本征态随时间的变化率

如果 H 和时间无关的话

这一项完全是等于 0 的

也就是说

这个因子是等于 1 的

因此我们把这一项

给予一个特殊的记号

记成为 e^iγ_n(t)

这里有一个问题

那就是

可以证明这个因子

一定是模为 1 的

这里需要用到的是

n 自己永远满足归一化条件

把这个归一化条件

作微分之后

可以证明

这个因子的实部永远等于 0

因而它是一个纯虚数

因而我们可以把它

写成一个相因子的形式

也就是说

这里的这个 γ

是这样的一个积分

而这个积分本身是纯虚的

再乘上一个虚数单位

这个 γ 是一个实数

对于这样的一个相因子

人们最初的认识

是这样来看待的

我们前边已经说过

由瞬时能量本征方程

其实不能完全地决定

这个瞬时能量本征态

它可以包含一个

任意的和时间有关的

相因子

而这样的一个自由度

就有可能使我们

永远让这个东西等于 0

但是

这样的一个认识

经过 Berry 的研究发觉

并不是在任何情况下

都可以做到

使这个 γ 等于 0

所以说这样的一个相位

此后就被称为

Berry 相位

另外一个名词叫做

不可积相位

下面我们就用一个具体的例子

来演示一下

在什么情况下

会出现 Berry 相位

这个例子是这样的

考虑一个自旋 1/2 的粒子

但是现在不考虑它

空间位置的变化

或者说

把它的空间位置取缔

然而把它放在一个

磁场当中

这个磁场 B

假设是沿着 (θ₀,ψ) 的这个方向的

所以这个磁场的 3 个分量

可以写成为

这样的一个

球坐标里的表达式

这里的 B 代表着是

磁场的强度

而 θ₀ 和 ψ 分别代表的是

俯仰角和方位角

现在我们要考虑

这个粒子还有一定的磁矩

那么大家都知道

这个磁矩可以写成为

自旋乘以某一个系数

也就是朗德因子

那么在自旋 1/2 的情况下

这个 S 可以写成为

ℏ/2

乘以Pauli矩阵 σ

这里我们假设

这个 g 是一个大于零的常数

那么这个哈密顿量

就可以具体地写下来

是 -μ·B

把这个 B 的表达式代进去

和 σ 的具体的表示代进去

H 成为一个这样的 2×2 的矩阵

除去这些物理常数之外

这个 2×2 矩阵的矩阵元

就和 θ₀ 和 φ 有关

重要的是

这个 φ 构成了这个矩阵里边的

两个非对角元素里边

包含的虚指数因子

这个 H 的本征方程

是很容易求解的

这里我们就把它给出的

能量本征值和对应的

能量本征态

直接地写下来

一个能量本征值

是这个系数

前面是正号

我们把它叫做 E₁

对应的能量本征态

是这样的一个二分量旋量

这里的随 θ 变化的规律

表现成为 Sinθ₀/2

和 -Cosθ₀/2

而对于 φ 而言

再一次出现成为一个

虚指数因子

另外一个能量本征值

是它的负号

我们把它叫做

第二个能量本征值

那么第二个能量本征态

也是再次出现了

Cosθ₀/2 和 Sinθ₀/2

同时还有一个和 φ 有关的

虚指数函数

这里我们发觉

这两个能级的差是 gB⓷

因此由这两个能级

所决定的跃迁频率

就是 gB

那么这个频率的物理意义

就是磁矩在磁场中的

Lamor 进动的频率

称之为 Lamor 频率

假如我们比较形象地来考虑

这个进动的话

可以这样来想象

那就是

这里有一个磁场

这个电子的自旋

绕着这个磁场这样转动

这就是所谓的

Lamor 进动

下面我们要考虑

这个哈密顿量

和时间是有关的

很显然

这个时候就意味着

磁场 B 不再是一个常数

而是一个随时间而变化的

为了简单起见

我们假设这个磁场

是围绕着 Z 轴以很慢的频率

来旋转

把这样的一个磁场旋转的频率

记作 ω

那么回到刚才我们

表达这个磁场

的大小和方向的那个

表达式

这就意味着

在刚才的这个表达式里 θ₀

是一个不变的量

而 φ 是 ωt 这样的

随时间而变化的

这样一来

我的和时间有关的

哈密顿量

就是一个这样的算符

而时间变量出现在

这里的指数上

称为 ωt

根据刚才所描述的

那个物理图像

我们可以预料

绝热条件

在这里体现为

磁场本身绕着

Z 轴的那个旋转

比起磁矩绕着磁场的旋转

要慢的多

也就是说

这里的 ω

要小于小于 ω₀

那么在这样的条件下

绝热近似是可用的

因此就会出现

Berry 相位

现在我们看一下

Berry 相位的具体的值

由于磁场本身的旋转周期

是 2π/ω

我们把它记作 T

为了确定起见

我们假设在 t＝0 的时候

粒子处在状态 |1> 上

我们来算一下

过了一个磁场旋转周期以后

会出现有多大的

Berry 相位

这里我们就要把

本征函数 |1> 的

具体表达式写下来

并且求它对时间的微分

这里的微分

就是对这个时间 t 的微分

因此前面出现一个 -iω

这项和时间无关

微分是 0

因此我们要

求这个时间微分了的波函数

与原来的那个波函数的内积

也就是作一个矩阵乘法

然后对时间

从 0 到 T 去积分

前面的 i 的加入

使得 γ 成为一个实数

那么具体地做下来

前面那个 -i 和这个 i

合起来成为 1

因此 ω 留下来

这里是一个二分量的行矢量

这里是一个二分量的列矢量

二者乘了以后

对时间 t 做积分

结果就是

前面是 ωT

这里的和 θ₀ 有关的因子

就会出现

结果是 Sin²(θ₀/2)

而这里的 T

是 2π/ω

所以 ωT 就是2π

我在利用对角公式

把这个 Sin²(θ₀/2)

换成 (1－Cosθ₀)/2

因此这个 γ(T)

就是 π(1－Cosθ₀)

这个时候我们要注意

实际上我们考虑的是

磁场变化了一个周期以后的

这个情形

也就是说

磁场又回到了

初始时候的状态

这使得

这时候的哈密顿量

事实上和初始的

哈密顿量

是一样的

但是这个粒子的

量子状态的相位

当然我们要除去

普适存在的那个动力学相位

它却并没有回到初始的值

而是有了一个增加

这个增加就是

刚才所算出来的 γ(T)

这个值既不是 0

也不是 2π 整数倍

也就是说

我们可以认为

这个粒子的状态

没有回到 t＝0 的时候的

那个情形

这就是所谓的 Berry 相位

这是第一个我们对于

Berry 相位的理解

第二个我们还需要有一个

更进一步的理解

那就是

前面所谈到的那个问题

瞬时本征态是可以包含

依赖于时间的

相位因子的

那么如果我们改变一下

对于这样的

相位因子的约定

会不会就使得这个 γ

有了一个不同的结果呢

我们可以具体地算一下

结果是

这个 γ

和这个任意的相位选择

是没有关系的

比如说

我们重新把 |1> 这个本征态

选择成为

原来的那个本征态

乘以一个任意的

和时间有关的相因子

记作 e^iα(t)

那么我们就可以用这个

重新定义了的本征态

去计算这个相位 γ

也就是说

在这个表达式里边

都用这个 |1>

顶上带一个弯弯的

去代替原来的 |1>

由于这里出现了

对于这个态

对时间的微分

因此应当出两项

一个是

态对时间的微分

另外一个是 α

对时间的微分

把这两项都写出来发觉

这一个其实就是原来

我们计算好了的那个 γ

然而现在多了一项

那就是 α 对时间的导数

在一个周期里的积分

而这一项事实上是 0

因为

当你做积分的时候

结果应该是把 α

在 T 时候的值

减去它在 0 的时候的值

而这两个状态下

磁场是沿着同样的方向

换句话说

H 是一样的

因此这一项是 0

结果只剩下了

原来已经计算过了的

这个 γ

这样一来就表明

即便我们对于本征态的相位

做了重新的选择

这个 Berry 相

是不会发生改变的

在这个意义上

我们称 Berry 相

是一个拓扑不变量

既然 Berry 相

具有这样的不变性

我们可以猜想

或者设想

它代表了某种客观的东西

那么它究竟代表了什么呢

我们不妨考虑

当磁场围着 Z 轴

旋转一周的时候

它围出了一个多大的立体角

这个立体角并不难计算

因为它和 Z 轴

保持夹角是不变的

然而它的方向角

增加了一个 2π

因此我们很容易

把这个立体角算出来

那就是

对于 φ 来说

是从 0 到2π的积分

而对于 θ 来说

是 Sinθdθ

从 0 到 θ₀ 的积分

这个积分的结果

恰好是 2π（1－Cosθ0）

我们发觉这里有一个

这样的关系

那就是

这个 γ 是这个立体角的一半

这里的因子 1/2

从物理的角度来说

事实上是

来自这个粒子的自旋投影

是 1/2

换句话说

如果我们考虑一个

更一般的结果的话

这个 γ 实际上是

磁场转动一周

所加的那个立体角

乘以自旋投影的负值

所以我们可以说

Berry 相位

在本质上的起源

是几何的

或者说

Berry 相在本质上

是一个几何相

除去这个例子以外

我们还可以发现很多

Berry 相的例子

对于这些例子的分析

都表明 Berry 相

具有一种几何的起源

也就是说

Berry 相在本质上

是一个几何相

我们在前面曾经指出

波函数应该满足

单值性这样的要求

那就是说

在一个给定的空间点

波函数应该具有单一的值

换句话说

当我们在空间中

围绕着一个

闭的区路转一圈的时候

波函数应该回到

原来的值

而现在我们发现了

另外一种情形

那就是

这个系统的哈密顿量

可能依赖于一些

外部参数

由于在一定的情况下

会出现 Berry 相

因此我们发觉

波函数的相位

在参数空间里边

有可能是转一圈

并不回到原来的值

而多出一个相位

也就是 Berry 相

在这个意义上

我们可以说

波函数的单值性

对于参数空间中的变化而言

是并不需要满足的

刚才所举的

Berry 相的这个例子

尽管简单

却说明了很多问题

事实上, Berry 相

在许多近代物理的现象当中

占有很重要的地位

是需要给予

关注的一个问题

同学们

我们的量子力学的幕课

到这里就完全结束了

最后

我们对于量子力学

再做一个简单的评述

第一点

量子力学为现代物理学

提供了可靠的理论基础

也就是说

理论的计算结果

和实验观察的比较

是非常符合的

但是它也仍然是处在

不断的发展的过程中

量子力学同时又是一门

正在前进的学科

所以我们一方面

要应用量子力学的理论

来描写和解释

物理的现象

同时也要注意

不断地学习量子世界的

新知识和新现象

我们正面临着一个

科学技术飞速发展的时期

物理学在这个发展当中

有着非常重要的作用

这就给我们提出了

与时俱进的要求

而不断地学习

量子世界的新知识

对于我们适应

现代科学技术的发展

是一件非常有意义的事情

希望大家今后

不断地对量子力学

有更进一步的

深入的理解

谢谢各位同学