当前课程知识点：量子力学（下） > 第十章 电子自旋 > § 10.4 塞曼效应 > 10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量
在这一节中
我们讨论在外磁场下
原子的能级和光谱线的
分裂问题
也就是所谓的塞曼效应
首先我们讨论一下
在外磁场中
带有自旋的电子的
哈密顿量的表述形式
实验证明
在外磁场中
原子的能级会发生分裂
结果是原子的特征谱线
也发生了分裂
这被称为塞曼效应
对于塞曼效应的
理论解释是
电子的磁矩和外磁场产生了
附加的相互作用能
这种附加的相互作用能
可以导致
原子的能级发生分裂
以及相应的原子特征谱线
也发生了分裂
先不考虑
自旋和原子实电场的
相互作用
那么在外磁场中
电子的哈密顿量
可以写成下面的形式
Ĥ=1⁄2me(P̂⃗+eA⃗)2
在这里注意
电子的电荷q=-e
另外还请同学们注意
在原子的范围内
外磁场可以认为是均匀的
所以
在上面这个表达式中的
矢量势A⃗
可以写成对称的形式
也就是1⁄2B⃗×r⃗的形式
如果外磁场沿着z轴方向
并且是个均匀大小的外磁场
那么对称形式的
矢量势A⃗的分量形式
可以写成
A⃗的x分量等于-By⁄2
A⃗的y分量等于Bx⁄2
A⃗的z分量等于0
将这样对称形式的矢量势A⃗
代入到前面的电磁场中的
电子的哈密顿量中
首先将它写成
各个分量的形式
再将平方项展开
并且合并同类项
我们就可以把哈密顿量
写成下面的三项
其中第一项是电子的动能项
p2=px2+py2+pz2
第二项与磁场强度B成线性
L̂z是电子的轨道角动量的
z方向的分量
这一项代表着
电子的轨道磁矩
与电磁场的相互作用
而第三项
与磁场强度B2成正比
这一项在形式上
与二维各项同性谐振子的
势能形式非常类似
再考虑电子带有自旋
那么
如果没有外磁场的情况下
有下面这个公式成立
也就是
(a⃗·σ⃗)(b⃗·σ⃗)=a⃗·b⃗+i(a⃗×b⃗)·σ̂
这里的
a⃗和b⃗是与泡利算符σ
对易的任何矢量算符
注意到对于这个公式
有一个特殊的情况
也就是在a⃗=b⃗的时候
这个公式呢
可以化成下面的公式
也就是(a⃗·σ⃗)2=a⃗2
那么
原来没有考虑
电子自旋自由度时的
哈密顿量
Ĥ=1⁄2meP̂⃗2中的P̂⃗2项
考虑了电子的自旋以后
就可以改写为(P̂⃗·σ⃗)2
如果再加上外磁场
那么就要用(P̂⃗+eA⃗)
来代替前面中的P̂⃗
所以哈密顿量就可以写成
下面的形式
1⁄2me((P̂⃗2+eA⃗)·σ⃗)2
再从这个公式的
第一行到第二行中
我们还是利用了
刚才的那个等式
也就是(a⃗·σ⃗)(b⃗·σ⃗)
等于a⃗·b⃗+i(a⃗×b⃗)·σ̂
但是在这里我们要注意到
电子的正则动量P⃗
和矢量势A⃗是不对易的
也就有了下面这个表达式(P̂⃗×A⃗+A⃗×P̂⃗)·σ⃗
我们再注意到正则动量
在坐标表象下的算符形式是
负的iℏ乘上梯度算符
通过引入一个
试探波函数Ψ(r)
我们可以验证(P̂⃗×A⃗+A⃗×P̂⃗)·σ⃗
作用在
这个试探波函数Ψ(r)上
它的结果就是
-iℏ乘上梯度算符叉乘
矢量势A⃗点乘σ⃗
再作用在试探波函数Ψ(r)上
那么我们就有了
这第三行的公式
再注意到矢量势A⃗的旋度
就是磁场强度B⃗
那么我们就有了
最后这个表达式
然后我们再利用
自旋矢量等于ℏ/2
乘上泡利矢量σ⃗
以及沿着z轴的均匀磁场
再将刚才哈密顿量中的
(P̂⃗+eA⃗)2项进行展开
最后我们就可以得到
这样的哈密顿量
注意到这个哈密顿量
和前面没有考虑电子自旋的
哈密顿量的不同之处
就在于用了L̂z+2Ŝz
取代原来的哈密顿量中L̂z
所以
如果再把原子实的电场
以及自旋轨道耦合加进来
那么最后的哈密顿量
就可以写成这样的形式
这个哈密顿量就是带有
自旋的电子在电磁场中的
完整的哈密顿量
在结束这一小节之前
我们对这个哈密顿量
再作一点说明
在这个哈密顿量中
B的线性项
可以做下面的物理解释
在这个课程的第六章中
我们已经证明了
负的e乘上
电子的轨道角动量L⃗
除上2me
就是电子的轨道磁矩
我们将它记为M⃗L
而在这一章的第一节中
又说明了-e乘上
电子的自旋角动量S⃗/me
就是电子的自旋磁矩
我们将它记为M⃗s
所以哈密顿量中B的线性项
实际上就是-B⃗·(M⃗L+M⃗S)
的和
而这正是磁矩磁场
相互作用能的经典表达式
另外还请同学们注意
当考虑
在这样的哈密顿量下的
薛定谔方程的时候
薛定谔方程中的ψ
当然是二分量的波函数
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
