当前课程知识点：量子力学（下） > 第九章本征值问题的代数方法 > § 9.2 角动量的本征值和本征态 > 9.2.1 角动量的一般定义

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9.2.1 角动量的一般定义在线视频

9.2.1 角动量的一般定义

下一节:9.2.2 角动量的阶梯算符

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9.2.1 角动量的一般定义课程教案、知识点、字幕

9.2节

我们介绍

角动量的本征值和本征态

在之前的章节中

第四章第四节

我们曾经介绍了

轨道角动量的

本征值和本征态

通过这一节的学习

我们将看到

角动量是比轨道角动量

含义更广的物理量

我们首先

从轨道角动量出发

给出角动量的一般定义

我们知道

轨道角动量算符 L 的各个分量

L̂_x, L̂_y, L̂_z 满足如下的对易关系

即 L̂_x 和 L̂_y 的对易括号

等于 iℏL̂_z

L̂_y, L̂_z 的对易括号等于 iℏL̂_x

L̂_z, L̂_x 的对易括号等于 iℏL̂_y

这些对易关系我们也曾经在

第四章第四节中给出过

这些对易括号可以写成

如下的形式

即 L̂_i 和 L̂_j 的对易括号

等于 iℏε_ijkL̂_k

其中 i, j, k 可以表示成 1, 2, 3

它的实质上

是 x, y, z 的三个分量

ε_ijk 是一个三阶的

完全反对称单位张量

它对于 i, j, k 是完全反对称的

这就是说

让 ε₁₂₃ = 1

这个张量的非零的元素

只有ε₁₂₃, ε₂₃₁, ε₃₁₂

它们都等于 1

另外 ε₃₂₁, ε₂₁₃, ε₁₃₂ 等于 -1

由于轨道角动量算符

是坐标算符和动量算符的

矢量积

因此

之前的

我们看到的这此对易关系

就是轨道角动量的定义

以及坐标和动量之间的

对易关系的结果

现在我们把这些对易关系

推广为量子力学中

一般角动量

应该满足的对易关系

这也就是说

如果 J 是一个角动量算符

那么它的各个分量算符

Ĵ_x, Ĵ_y, Ĵ_z 就要满足

这样子的一个对易关系

Ĵ_i, Ĵ_j 的对易括号

等于 iℏε_ijkĴ_k

这可以看作是量子力学中的

角动量的一般定义

我们将会看到

从角动量的一般定义出发

角动量的本征值和本征态

包括了轨道角动量的

本征值和本征态

我们也会看到

某些角动量

并不像轨道角动量那样

有其经典的对应元

有角动量的一般定义

我们不难证明

角动量平方算符

和角动量的任意一个分量

是对易的

这里角动量平方算符

定义为

角动量算符 x 分量的平方

加上

角动量算符 y 分量的平方

加上

角动量算符 z 分量的平方

所以我们看到

角动量的本征态

实际上是角动量平方算符

和角动量算符的

任何一个分量的同时本征态

而不是

角动量算符三个分量的

同时本征态

这一性质

是和动量算符完全不同的

角动量平方算符和

角动量算符 z 分量的

同时本征方程如下

角动量平方算符

作用到本征态 |ηm> 上

其中 |ηm>

是狄拉克符号下的表示形式

等于本征值 ηℏ²

乘上这个本征态 |ηm>

角动量算符 z 分量

作用到本征态上

等于本征值 mℏ

乘上这个本征态

刚才我们说过了

|ηm> 是在狄拉克符号形式下的

角动量平方算符和

角动量算符 z 分量的

同时本征态

在这里

我们没有给出这个本征态的

具体的函数形式

角动量平方算符和

角动量算符 z 分量的

本征值的单位

已经分别由 ℏ² 和 ℏ

直接表示出来了

因此 η 和 m 是一组量子数

量子力学（下）课程列表：

第八章量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换量子力学的幺正不变性

-第八章量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

-第九章本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数矩阵算符

-第十章电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动

--第十章电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态贝尔基

-第十章电子自旋--第七周的作业

第十一章微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章微扰论--第十周的作业

第十二章散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章散射理论--第13周的作业

第十三章其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子共价键

--第十三章其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位几何相位

9.2.1 角动量的一般定义笔记与讨论

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