当前课程知识点：量子力学（下） > 第十章 电子自旋 > § 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合 > 10.2.2 电子的自旋-轨道耦合
在这一小节中
我们讨论电子的
自旋轨道耦合
电子带有自旋磁矩
所以
它在电场中运动的时候
会产生一种新的相互作用
从经典物理学的角度来看
这种相互作用
我们可以这样来理解它
以氢原子为例
氢原子原子核外有一个电子
电子围绕着原子核运动
如果我们换个角度
在与电子一起运动的
参考系中来观察
那么带电的原子核
就围绕着电子运动
所以
它要在电子的位置上
产生一个磁场
这个磁场
就和电子的自旋磁矩
发生了相互作用
这种相互作用被称为
电子的自旋轨道耦合
自旋轨道耦合
在多电子体系中
被称为LS耦合
或者Russell Saunders耦合
由于磁矩 M 和磁场强度 B 的
相互作用能的形式是
-B·M
所以我们容易想象到
电子的自旋轨道耦合的大小
应该和电子的轨道角动量 L
与电子的自旋角动量
S 的点积成正比
严格处理这个问题
需要用到电子的
相对论量子力学方程
也就是所谓的狄拉克方程
我们在这里不打算
详细介绍这个问题
只是告诉大家
对狄拉克方程如果能做
非相对论的近似
也就是
在电子的速度 v
远远小于光速的近似下
可以给出电子的自旋轨道耦合的
哈密顿量
由下面这个式子来表达
在这个表达式中
V 是电子的电势能
P 是电子的动量算符
在坐标表象下
它可以写成
-iℏ∇
S 是电子的自旋算符
它可以表示成
ℏ/2 乘上泡利算符 σ
假设现在电子是在一个
中心力场中运动
那么
电子所受到的电势能就是
r 的函数
那么 V 的梯度
首先沿着 r 矢量的方向
它的大小是 1/r 再乘上
电势能对 r 的一阶导数
而我们又注意到 r×p
就是电子的轨道角动量 L
将这些表达式代到上面的
电子的自旋轨道耦合的
哈密顿量中
我们就可以把
这个哈密顿量
又写成下面的这个形式
我们来看这个表达式
首先
电子的自旋轨道耦合
是和电子的轨道角动量 L
与自旋角动量 S 的
点积成正比
我们可以将前面的这个系数
记为ξ(r)
ξ(r)是正比于 1/r 再乘上
电子的电势能
对 r 的一阶导数
在这里
me 就是电子的静止质量
c 为光速
我们应该把这样的哈密顿量
加到原先也就是没有考虑
电子自旋自由度时的
哈密顿量中去
现在马上就会碰到一个问题
由于电子的轨道角动量 L
和电子的自旋角动量 S
分别都不和 L·S 对易
也就是说
电子的轨道角动量
和自旋角动量
都不再是守恒量
那么
我们应该如何来表征
电子的状态呢
首先我们可以证明
电子的总角动量 J
它等于 L + S
总角动量 J
是和 L·S 对易的
所以电子的总角动量 J
是个守恒量
具体的证明过程如下
首先我们来考查
电子的轨道角动量的
某一个分量 Li
它和 L·S 的对易括号
将 L·S 写成
分量乘积求和的形式
就变成了这个表达式
再利用
对易括号分解的基本公式
那么这个对易括号
可以写成
Li 与 Lj 的对易括号
乘上 Sj 再加上另一项
也就是
Lj[Li, Sj]
而我们注意到
电子的轨道角动量
和自旋角动量
分属于两种不同的自由度
所以他们之间是对易的
也就是说
刚才对易括号分解的
第二个项等于 0
那么我们就剩下这一项
再利用
电子轨道角动量的
基本对易关系
[Li, Lj]
就等于 iεijkLk
其中 εijk 是一个
三阶完全反对称单位张量
它的下标 ijk
可以取 123
分别对应着 x, y, z 三个分量
那么我们最后
Li 与 L·S 的对易括号
就可以得到这个式子
完全类似地
电子的
自旋角动量的某个分量
它和 L·S 的对易括号
就可以得到这个式子
那么我们再来看
电子的总角动量的
某一个分量 Ji
它等于 Li + Si
它和 L·S 的
对易括号是什么呢
就把上面这两个式子
加在一起
得到了这个表达式
然后我们再对分量 j
具体进行展开
同学们不难验证
最后的结果就等于 0
所以
电子的总角动量 J
是和 L·S 对易的
事实上
电子的总角动量本征态
同时也是 L·S 的本征态
这是因为总角动量本征态
是 L2, J2, jz 的同时本征态
而我们又知道
总角动量的平方
就等于(L + S)2
将这个平方项展开
它得到的就是
L2 + S2 +2 L·S
在这里
我们再一次利用了
刚才提到过的
电子的轨道角动量 L
和自旋角动量是对易的
这个性质
因此 L·S 就等于 (J2 - L2 - S2)/2
如果我们将 L2, J2, Jz 的
同时本征态
记作 ϕ, 右下标
用它们的量子数 ljmj 来标记
那么 L·S
作用在这个同时本征态上
它就等于 (J2 - L2 - S2)/2
作用在这个同时本征态上
再利用同时本征态
所满足本征方程
我们就得到它等于
[j(j+1)-l(l+1)-(3/4)]/2 ℏ2
乘上这个同时本征态
更具体地说
我们对于
总角动量的量子数
j 取 l+(1/2) 的情形
那么 L·S 作用在
ϕljmj 就等于
l/2 ℏ2ϕljmj
而对于总角动量的量子数
j 取 l-(1/2) 的情形
那么 L·S 作用在 ϕljmj 上
就等于 -(l+1)/2
乘上 ℏ2ϕljmj
请同学们注意
这些结果
在我们后面讨论电子的
自旋轨道耦合所导致的
原子能级的分裂和移动
以及外磁场中的塞曼效应
都是非常有用的
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
