12.3.2玻恩近似及其适用条件在线视频

刚才我们所做的工作

主要的就是

把一个微分形式的

薛定谔方程

换写成了积分形式的方程

现在我们就要把它

用在散射问题的研究上

积分方程相对于微分方程

有什么优点呢

我们发觉

在积分方程里

出现了这个所谓的

齐次方程的一般解这个项

而这一项

可以用它来体现边界条件

所以说

积分方程等于是把微分方程

和它的边界条件放在一起

都表现出来了

那么对于散射问题

我们可以对照一下

我们要求的

波函数的边界条件

它是这个样子

当我们考虑

U=0这个情况的时候

我们知道

实际上是不会发生散射的

也就是说

这项等于0只剩下了这一项

这就启发我们

实际上

在利普曼斯瑞格方程里边

可以把这个ψ₀取作入射波

也就是说e指数上ikz

确实

我们可以从这个角度来认识

这样取法的一个合理性

第一

它是齐次亥姆霍兹方程的解

第二

当U(r)=0的时候f(θ,φ)=0

只剩下了这一项

所以

我们现在要解这样一个方程

就是ψ也等于这个叫做

入射的平面波

再减去这一部分是

格林函数乘以U

再乘以ψ对r′做积分

既然同样一个

未知的函数ψ

即出现在方程左方

又出现在方程右方

这仍然给我们求它的解

带来了困难

为了解决这个问题

我们来利用一下微扰近似

我们回头来看一看这个方程

就是当U=0的时候

只剩下了这一项

因此我们可以这样来考虑

如果U不是很大

我们就不妨在这个积分里边

直接用它来代替

这种方法

在数学上称之为迭代法

这样一来

我们实际上就得到了

波函数ψ的

一个这样的表达式

注意原来这个地方

应该是ψ(r′)

现在实际它是ψ₀(r′)

代进去了

当然这就变成了关于ψ

作为r的函数的一个

直接的明显的表达式

这就是我们称之为的

波恩近似的基本公式

由于

我们现在考虑的是散射问题

所以说要和我们所假设的

无穷远波函数的形式做对比

并且从中找出

所谓的散射振幅

于是我们就有一个问题

就是在r→∞的时候

那个积分里边的各个量

可以做怎样的近似

我们发觉

一个是这个因子

就是(r-r′)的模的倒数

那么很显然

如果r→∞的

那么这个r′相对于

就变得非常之小

因此这样一个函数

可以近似成为1/r

但是

如果我们去看指数函数的话

那就是

这个表达式里的这个因子

那是不能做

这样的简单的近似的

因为指数函数

对于它的指数上

是一个振荡型的函数

因此这里不能够简单的就把(r-r′)

的模近似为r

那么究竟应该怎么去处理呢

我们来看这个图

这里是r

应该考虑它非常非常之大

这里是r′是在积分里

被积分的那个变量

我们要的是

从这一点到这一点的距离

也就是r-r′的长度

由于它非常之大

所以如果我们这里

做一条垂线到这里来

第一步我可以近似的认为

它等于它的这段长度

然后这段长度又等于

整个这个大的r-r′cosθ

所以说

更准确的说的这个近似

应该是r-r′cosθ

为了后面

我们运算更方便起见

我们把它写成一个

矢量点积的样子

引入沿着这个方向上的

单位矢量e_r

那么r′cosθ就是r′矢量

点乘这个e_r单位矢量

这是对于指数上来说

合适的一个近似表达式

这样一来

我们刚才看到的那个积分

就这样来进行重新的表达

这一部分直接近似为1/r

这里的指数上

实际上出现了两项

一项是e^ikr

另外一项是e^-ikr′e_r

这里还有一个

原来的指数函数e^ikz’

因此我们看到的积分

实际上变成了这个样子

其中r′以及这里的z′

在积分之后就都不再出现

那么这个积分

实际上和谁有关系呢

很容易发觉

它和这个e_r

就是r方向上的单位矢量

是有关的

而它正好代表的就是

散射粒子的出射方向

我们把这两个指数因子

合在一起就发觉

这个指数上变成了这个样子

我们把这个表达式

还要再做进一步的改写

这个表达式是这样两项的差

一个是kz′

那么z′实际上是r′

在e_z方向上的投影

因此第一步先把z′

写成这样的一个点积

然后再考虑k乘以e_z

实际上就是

入射粒子的波矢量

也就是

我们记作k的这个符号

因此kz′实际上是k点乘r‘

而下面这个表达式

就更容易改写

因为ke_r

e_r就是在r方向上单位矢量

而它也就是

出射粒子的动量方向

乘起来自然就应该是

出射粒子的波矢量

所以说

这一项就是k′点乘r′

我们就可以看这个图r′

是被积分的

在z方向上我们出一个

在r方向上出的是r′

k是入射k′是出射

于是

这样的一个指数上的表达式

就简单的化为(k-k′)r′

把这样一个表达式

代入到原来所得到的

波函数的渐近表达式当中

并且对比散射振幅的一般定义

应该把前面的那个

e^ikr/r这个因子拿掉

得到的就是散射振幅f(θ)

因此我们得到了

f(θ)的这样的一个表达式

其中U实际上就是

相互作用势能V

只不过

前面乘上了一个这样的常数

但是我们所写的这个表达式

相对于原来的表达式

似乎有一个改变

那就是原来我们把被积变量

记作r′

现在我们直接把被积变量

记作了r

那么自然就有一个问题

散射体现在哪里呢

现在散射体现为

入射的波矢量从k变成了k′

也就是说

现在散射的角度θ φ

实际上是k′

相对于k的那个夹角

这个式子就是

散射振幅的波恩近似公式

这个公式里边

并没有对相互作用的位能

提出任何特殊的要求

但是现在我们考虑

一个比较简单的情形

那就是

V与r的方向是无关的

也就是说

各项同性的相互作用

在这样的条件下

波恩近似公式

还可以再做一些简化

为了使以后表达式比较简明

我们把(r-r′)记作q

由于

实际上动量就是ℏ乘以k

所以说

如果我们在这个式子上

乘以ℏ那么

实际上ℏq就是出射的动量

减去入射的动量

如果我们把这个式子

重新写成为k′= k+q

或者说是p′=p+ℏq

那么我们就很多容易认出

ℏq实际上是在原来的

动量上面加上了ℏq这一部分

产生的是出射的动量

所以ℏq获得了一个名字

叫做动量传输

我们现在可以更具体的

来看一看q的情形

尤其注意

它的大小是多大

看一看这样的一个三角形

这是入射波矢量

加上这个传输的波矢量

产生了出射的波矢量

现在我们看一下

这人矢量的大小

这里是一个等腰三角形

从它做一条垂线过来

你就发觉

它的长度是它的长度

乘以sin(θ/2)再2倍一下

因此这就是

q的大小的一个表达式

而这个θ

正是k′相对于k的夹角

也就是散射角

所以我们最后得到的

是一个这样的表达式

那就是散射振幅f(θ)

等于一个系数-1/4π

然后是一个这样的积分

这个积分是对r的积分

q作为这个积分当中的参数

但是由于这个地方

只和r的大小有关

而和方向无关

所以积分出来的结果

只是q这个矢量的

大小的一个函数

而这个q的大小

恰好等于2ksin(θ/2)

k叫作入射粒子的

波矢量的大小

θ叫作散射角

所以说

最终来说它确实是θ的函数

当然这样算起来

稍微还是有一点点复杂

我们还可以再进一步

做一个化简

从这个表达式

我们可以发觉

我们最后面临的问题

是如何完成这个积分

注意到实际上

这个U是和方向无关的

所以说

我们不一定

保持原来的那个参考系

也就是说

入射粒子的动量

朝着z方向

换句话说

我可以把这个z

取在任何方便的方向上

来计算这个积分

为了计算这个积分比较方便

我们就把进行积分的时候

所选择的那个z′轴

正好沿着q的方向

这样一来

这里的qr就变成了

qrcosθ′所谓的θ′

就是在这个新的进行积分的

带′的坐标系当中的角度

而需要积分的

当然仅仅是θ′

和φ′这样的角度

于是我们就可以把

这一部分积分完成就是

e^iqrcosθ′Ur²sinθ′dθ′dφ′

是可以直接的积分出来的

积分的结果就是

这样的一个函数

在θ′=π和θ′=0之间的差

而对r的积分

仍然留在这里

并没有具体的进行

把这样的一个函数

具体的写出来之后

它得到的就是sin（qr）

然后我们仍然把

U(r)用V(r)相互作用势能

表达出来

因而把全部的常数

仍然明显的写出

那么就得到了是

这样的一个表达式

现在我们总体来看一下

最后的结果

现在f(θ)

被表示成为一个积分

这个积分当中含有参数q

因而是q的函数

而q是2ksin(θ/2)

k又可以直接用

粒子的能量表达出来

因而最后我这个q是

散射角度的函数

由于表面上看f是θ的函数

而实际上

f是单一变量q的函数

因此

我们所得到的这样的结果

是一个非常特殊的

也是一级波恩近似

所独有的一个特征

当然我们所做的这些方法

是利用了近似的

我们就应该问

这样的近似

在什么条件下是可用的

对于这个问题的分析

略微有些复杂

我们这里

不再非常仔细的加以分析

而只是给出它的最后的结果

那就是

这个近似

适用的条件是kaV₀/E＜＜1

其中正像原来我们曾经用过

那个概念那样

a表示的

是势场的一个作用范围

也就是力程

V₀是势场的强度

如果我们分析一下

具体的物理条件

我们发觉

k∝√(E)这里又除一个E

所以说整个的来说

这个量∝1/√(E)

由此我们发觉

能量越大这个值当然越小

这样的要求就越容易满足

所以说

我们的一个总的概念是

波恩近似对于高能散射

是比较好用的一个近似

但是还有另外一种

比较特殊的情形

那就是

如果这个势场为吸引势场

那么哪怕能量不是很高

波恩近似仍然是好用的