当前课程知识点：量子力学（下） > 第十三章 其它近似方法 > § 13.1 里兹变分法 > 13.1.1 变分原理
上一章我们已经介绍了微扰论
作为量子力学里边的
最主要的近似方法
在这一章里我们再介绍
其它的一些近似方法
首先来介绍的叫做变分法
那么我们已经知道
量子力学里边
很重要的一类问题
就是求能量本征值的问题
这个问题是这样来提的
那就是
首先写下这样的本征方程
并且要求
这个本征函数是归一化的
来求满足这个方程的本征值E
现在我们可以从另外一个角度
来看这个问题
那就是
这个问题实际上等价于一个
变分的极值问题
这个问题是这样来提的
那就是
把波函数ψ看作是可以
任意的变动的一个对象
但是要求它满足归一化条件
那么我们知道
在这样的条件下
能量的平均值就是Hψ
和ψ的一个内积
我们把它叫做H平均
所谓变分极值问题
就是
在波函数的任意变动之下
来求这个平均值的极值
那么
为什么这种条件极值问题
就等价于刚才所说的
能量本征值问题呢
我们知道
从数学的角度来说
所谓的一个条件极值问题
可以用
拉格朗日待定乘子法来解决
那就是
假设一个这样的对象
它是H-λ(ψ,ψ)
构造了一个这样的对象之后
让这里的波函数ψ
发生任意的变动
而求出这个变动来
让它等于0
那么由于这里的
就是ψ和Hψ的内积
因此这两项
都是由ψ所决定的数值
因而求它们的差
在任意ψ变动之下的极值
就是让这个东西的变分等于0
这里的这个符号δψ
就表示了对ψ进行变分
这里边的这个实数λ
被称之为拉格朗日待定乘子
这就是所谓的
拉格朗日待定乘子法
求变分极值的主要精神
现在我们具体的
把这样一个变分写出来
我们注意到
这两项都是ψ自己的内积
因而当对它们
求关于ψ的变分的时候
每一项的变分
实际上都出两项
比如说
这个内积的变分
其中的一项是
对这个ψ做变分
另外一项是
对这个ψ做变分
完全类似的
后边这一项对ψ的变分
也成为这样的两项
其中分别对内积
括号里边的左边的ψ
和右边的ψ做变分
对于这样的表达式
我们可以
再稍微的做一些变换
这个变换呢可以注意
H是一个厄密算符
因而我们可以把这个
调到左边去
这样一来如果我们把
这项跟这项合在一起
那么
这个内积的左边都是δψ
而把这一项
改变了之后的和它合在一起
就变成了
这个内积里边右边的都是δψ
因而成为这样的一个表达式
而这个表达式根据变分原理
应该是等于0的
很容易发觉
这里的δψ
无论是出现在左边
还是出现在右边
按照我们的假设
都是任意的波函数变动
而要求
这样的一个表达式等于0
很显然就意味着
这个也就是这个应该等于0
这就导致了
是这样的一个方程
而这个方程
如果把这项移到方程的右边
它就是Hψ=λψ
它也就是H的本征方程
而这里的原来称之为
拉格朗日待定乘子的λ
其实就是能量本征值
这就称为
本征值问题的变分原理
由这个原理我们就导出了
计算本征值的一个新的方法
也就是变分方法
这个时候我们碰到了一个
比较困难的问题
因为所谓的H的平均值
是波函数ψ的泛函
这个泛函意味着
给定一个函数得到一个数值
这种关系称之为泛函关系
用数学的符号
我们要把H的平均值
写成为F代表一个泛函
后边加一个方括号
里边写的不是一个变量
而是一个函数
这种关系称之为泛函关系
从另外一个角度来说
泛函可以认为是
一种有无穷多个
自变量的函数
这样一来
在原则上
求一个泛函的极值点
要让无穷多个自变量
发生变动才能找到
这就带来了
实质上的计算上的困难
这是一个问题
另外由于现在我们所面对的
是一个多元函数问题
而对于多元函数而言
所谓的极值并不能够
简单的划分成为
极大值或者极小值
因为它依赖多个自变量的变动
因而完全有可能
它对某一些自变量的变动
是极大值
而对另外一些自变量的变动
是极小值
这是一种特殊的极值点
数学上被称为鞍点
而且当我们谈到极值的时候
它只意味着所谓的局部极值
它并不意味着
整体的来看一定是一个最值
这都使得在原理上
变分法所求出的极值
末必是我们所期望的最值
但是由于我们现在面临的是
能量本征值问题
如果我们的目标是求
基态能量
而基态能量意味着
能量的最小值
那么我们可以证明
按这种变分原理
求出来的H的极小值
在任何情况下
都不会低于
基态能量的真实值
而所谓的基态能量
意味着最小值
从另外一个角度说
我们求出的这个H的极值
是实际的基态能量的一个上限
当然如果我们可以真正的做到
这个极值对任何波函数的变动
都是极小值
那么它实际上也就是最小值
因此
对于能量本征值问题而言
刚才所说的那些
比较复杂的情形
并不造成严重的问题
之所以会有这样的结果
其原因是
H是一个有下界的算符
这里的严格的数学的证明
就不再仔细进行介绍了
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
