当前课程知识点:量子力学(下) > 第十一章 微扰论 > § 11.3 量子跃迁的微扰论 > 11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
在这一节中
我们讨论在外界作用下
一个量子力学体系
在不同定态之间的
量子跃迁问题
在本课程前面的
绝大部分章节中
我们处理的是
哈密顿量与时间无关的情形
也就是
我们主要把精力集中在
如何求解
定态薛定谔方程上面
为了后面课程的需要
我们在这里先回顾一下
当系统的哈密顿量
与时间无关时
如何来求解与时间有关的
薛定谔方程的一般解的问题
对于这样的问题
求解的基本方法是
先求出
定态薛定谔方程的全部解
也就是
找到能量本征方程
H作用在φn上
等于En乘上φn的
所有的能量本征值
将它们记作大括号内En
以及它们所对应的
能量本征函数
将它们记作大括号内φn
在这里注意
角标n代表了
表征能量本征态的
一个量子数组
那么
将我们求得的φn
乘上一个e指数函数
指数上-iEnt除上普朗克常数
记作Ψ右下标n(t)
那么很容易验证
这样定义的Ψ右下角n(t)
就是和时间有关的
薛定谔方程的一个特解
注意到在这里
除了时间变量t以外的
其它变量都不在Ψ中写出
在下面也采用同样的方法
现在这个
含时薛定谔方程的一般解
就是这些特解的线性组合
也就是
一般解Ψ(t)
它等于对n的求和
an乘上Ψn(t)
那么
将含时薛定谔方程的特解
Ψn(t)代入
就可以写成这样的形式
也就是对n的求和
an乘上e指数函数上-iEnt
除上普朗克常数ℏ
再乘上Ψn
下面我们来看一下
波函数的初始条件
由于在初始值t=0的时刻
Ψ(t) 当t=0的时候
我们将它定义为
初始波函数Ψ右下角0
那么根据上面的这个公式
它就等于对n的求和
an乘上Ψn
所以
展开系数an是一个常数
它由初始条件来决定
也就是
an是相应的
定态薛定谔方程的解Ψn
与初始波函数Ψ0的内积
这种一般的Ψ(t)
虽然不再是能量的本征态
但是可以验证
它在各个能量本征态上的
几率不再随时间改变
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构,超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I:非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II:简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似