12.2.1 分波法的一般公式和适用范围在线视频

上一节我们介绍了

处理散射问题的一般原则

现在我们就要介绍一些

比较具体的处理方法

首先介绍

在中心势场里的分波法

分波法适用于

中心势场的情形

那就是

势能只是距离的函数

而和方向无关

那么在这个时候

方程就变成这个样子

其实主要的差别就是

这里的 U 现在只和距离有关

而 U 仍然是

在势能函数的前边

乘上一个这样的系数

很显然

在这个时候发生的散射

是和方向角 φ 角没有关系的

所以说

波函数 ψ 变成了

只和 r 以及 θ 有关

而散射振幅 f

变成了只和 θ 有关

而且由于是中心势场

所以角动量是一个守恒量

这样一来

我们就可以对于波函数

做出这样的一般的假设

那就是

相应的径向波函数

乘以勒让德多项式

再去求和

在物理的意义上

实际上这就是把波函数

分解为

不同的轨道角动量的叠加

由于现在我们是一个和式

因此我们把

每一项都起一个名词

叫做分波

它的物理意义

其实就是

有确定的角动量的

那个波函数的成分

把这个表达式代入方程

可以导出

径向函数 R(r) 所满足的方程

那就是这个方程

当然对于不同的分波的分量

就是 R_l

在方程里当然包括

这样的一项就是

l(l+1)/r²

对于这项的意义

以前我们做过解释

它代表所谓的离心势能

为了进一步化简这个方程

我们再引入

所谓的约化径向波函数 u

它只不过是 R/r

由于这里

我们引入了一个 kr

作为一个无量纲的变量

所以在这种情况下

我们的分母上

写的是 kr

那么这样的约化径向波函数

就要满足这样的方程

它的最大的特点是不再出现

u 的一阶导数项

同时我们还知道

由于刚才的那个变换

使得 u 这个约化径向波函数

在 r=0 的这一点要等于 0

这样能够保证

原来的径向波函数

在 r=0 的这一点是有限的

由于对于散射问题而言

我们最关心的是

无穷远的情形

所以说我们要看一下

这个方程

在 r—>∞ 的时候的形式

很显然

我们假设了相互作用势能

在无穷远点是 0

所以势能项以及离心势能项

都不再出现

方程只剩下了一个

简单的常系数二阶微分方程

而这个方程的一般解

我们是很熟悉的

那就是

前边一个振幅再乘以一个

sin 括号里边是

kr 减去某一个常数

这个常数我们称之为初位相

这里

我们把这个常数项写成为

- lπ/2 + δ_l

之所以写成这样的原因

是为了以后分析问题的方便

这一点在我们后面的讲解中

大家会有所体会

关键的是这里有一个 δ_l

当然作为一个一般解

这个 δ_l 是没有办法

从渐近的这个方程定出来的

实际上

我们必须回到严格的方程

把严格方程的解求出来以后

再去取无穷远点的极限

才能找出这个 δ_l

这里之所以要对这个量

进行这样详细的解释

是因为

它将会在以后的分析当中

发挥决定的作用

这样一来

如果我们观察 r—>∞ 的极限

我们就可以知道

这个波函数

具有这样的渐近的形式

那么回到我们

对于散射问题的处理方法

我们应该拿

刚才这个 ψ 与散射波函数

在无穷远处的一般形式

做一个对比

在这个对比当中

发现散射振幅 f(θ)

那么从这样的角度来看

马上就发现一个问题

那就是

这个和我们刚才所写的

渐近形式不是那么一致

所以我们又提出了一个任务

就是

要把这样的一个入射平面波

写成球面波的线性组合

也就是说

把这样的一个函数

按照勒让德多项式做展开

由于 z 是 r·cosθ

所以说

这个入射波

从球坐标的角度看来

其实就是 rcosθ 的函数

因此这样的一个展开

是能够完成的

这点也很清楚

数学家们对于这个问题

做了很仔细的研究

就导出了一个很著名的公式

这就是

我们要做展开的那个函数

z实际上是 rcosθ

于是我们就把它

写成为勒让德多项式乘以

球贝赛尔函数的这样的一个

乘积的线性组合

其中

包括了 l 从 0 开始的各个项

这里要解释一下

就是 j_l(kr)

代表的是球贝赛尔函数

所谓的球贝赛尔函数是

满足这个二阶微分方程

并且在 x=0 的这一点是

有限的那个解

对于球贝赛尔函数的

更仔细的分析

大家可以回忆数学物理方程

这个课程当中所讲解的内容

但是在我们这里呢

我们只需要考虑

这个球贝塞尔函数的自变量

趋于无穷的时候的

渐近表达式

这个渐近公式

也已经由数学家们给出了

那就是

它趋近于一个1/kr 乘以

sin(kr-lπ/2 )

这个 l 就是这个 l

也就是球贝塞尔函数的阶次

这样一来

我们所说的这个入射波

在 r—>∞ 的时候的

渐近表达式就成为这个样子

而对这个表达式

大家会发觉

其实非常熟悉

因为它完全类似于

我们前面解一般的定态方程

所得到的那个

无穷远的渐近表达式

其实如果 U 是等于 0 的

那么我就只有入射波

这个入射波的

无穷远渐近形式是这个样子

一旦 U≠0

我们刚才写下的那个表达式

和它的区别

最重要的就是

这里出了一个加上 δ_l

所以我们就发觉

所谓的散射之所以发生

区别就在于 δ_l 不再等于 0

在这个意义上 δ_l

成为表达这个散射过程的

主要工具

我们给它起了个名字

就叫做相移

下面我们就可以具体地

把刚才所写的

波函数的渐近结果

和我们所假设的

入射波加散射波的那个

渐近形式对比一下

我们就发觉

在 r—>∞ 的情况下

这项是入射波的渐近表达式

这项称之为散射波

而它们的和

应该等于我们从方程当中

解出来的这个表达式

很明显

这里就决定了 f(θ)

是一个什么样的函数

当然更具体地说

我们还要进行一些

比较细致的计算

这里包含这样的一些技巧

第一，作为 r 的函数

出现了两种不同的形式

一个是

以 kr 或者它的一些组合

为自变量的正弦函数

另外是这种写成

虚指数函数样子的

那么大家知道

实际上这二者是线性相关的

我们只能取其中一种

下面我们所采用的办法是

把正弦函数写成为

虚指数函数的线性组合

这样一来

我们就把全部的

关于 r 的这个变化关系

都用这样两个

线性无关函数来表达了

一个是 e^ikr

一个是 e^-ikr

而每一个函数的前边

都是和 θ 有关的函数

既然

这两个东西加起来等于 0

它们又是线性独立的

因此这个方程

就意味着

这两个中括号

分别的都要等于 0

这就导致下面的

这样的一个方程组

为了方便起见

我们特地把 f(θ)

写在了第一个方程的左边

但是第二个方程的左边

让它等于 0

于是我们首先从第二个方程

可以看出来

这里是一个关于

勒让德多项式的一个和式

但是它是等于 0 的

这就表明

其实这里边的每一项的系数

都应该等于 0

那么这第二个式子

就给出了 A_l

这样的一个表达式

其中注意

除去这样一些常数之外

很重要的是

它和 e^iδ_l有关

有了 A 的这样一个表达式

再把它代回去

我们就求出了散射振幅 f(θ)

而这个 f(θ)

就成为一个这样的表达式