当前课程知识点：量子力学（下） > 第十三章 其它近似方法 > § 13.1 里兹变分法 > 13.1.3 类氦离子的试探波函数
下面我们就来
举一个具体的例子
看一看里兹变分法
怎么用到实际的物理问题当中
这个例子就是类氦离子
所谓的类氦离子就是
它的原子核带有 +Z 个正电荷
而核外有两个电子
如果我们取 Z=2 的话
它就是氦原子
而如果 Z＞2 的时候
它成为一个正离子
回忆我们刚才介绍的
里兹变分法的精神
我们首先要考虑的问题
很显然应该是
如何选择试探波函数
在这里我们要回忆这样一些
关键的物理概念
第一, 电子是费米子
而现在
我们的系统是一个两电子系统
因此这两个电子的总波函数
应该服从费米统计
也就是说是交换反对称的
而电子的波函数
包含了空间和自旋两个部分
这里我们可以考虑
两种电子的总自旋的结果
一个是两个电子的总自旋是 0
那么我们以前介绍过
这个时候
这两个电子的自旋波函数
是交换反对称的
而总波函数也是交换反对称的
所以空间波函数
就应该是交换对称的
这是一种情形
另外一种情形是
这两个电子的总自旋是 1
那么
它们的自旋波函数
就是交换对称的
根据刚才所说
这个时候空间波函数
就应该是交换反对称的
由于现在我们所考虑的总能量
只和空间波函数有关
因此我们应该分别考虑
交换对称的或者反对称的
空间波函数所对应的能量值
在这里, 我们可以证明
如果空间波函数
是交换反对称的话
它给出来的能量值是比较高的
也就是说
高于交换对称的空间波函数
所对应的能量值
所以如果我们的目标
是解决
类氦离子的基态问题的话
那么我们只需要考虑
空间对称波函数
也就是说
考虑这两个电子的
总自旋为 0 的情形
而对于空间波函数而言
可以认为
这个时候两个电子
都处在 1S 这个状态上
而且它的空间波函数
对于它们的空间坐标的交换
是对称的
然后我们再来考虑如何选取
每一个电子的波函数
我们先不考虑两个电子之间
存在着相互作用
这个时候可以认为
每一个电子都处在
核电荷是 +Ze 的情况下
所处的那个状态
而我们知道这实际上是
我们研究类氢离子的时候
所得到的那个波函数
这个时候我们就可以利用
第六章中所做的计算
直接写下1S态的波函数
它是这样子的
其中 Z 代表的是
核电荷的数目
注意这个波函数
是已经归一化好了的
a 这里代表所谓的玻尔半径
是由普适物理常数
所构成的一个组合
为了计算方便起见
底下我们取原子单位制
也就是让 ℏ = μe = k1e2 = 1
那么在这个时候
所谓的 1S 态的波函数
就变得比较简单了
成为一个这样的表达式
再一次
这里的 Z 是核电荷数
这样一来
我们就可以把
在不考虑
电子相互作用的情况下的
两个 1S 态电子的波函数
写成每一个电子的
1S 态波函数的乘积
其中把 r1 和 r2
都带到这个表达式里边来
它就变成了这个样子
在这里我们可以注意
前面我们说了
在这种情况下我们只考虑
交换对称的空间波函数
而刚才写下的那个波函数
已经自动地就是
交换对称的了
满足了统计性的要求
当然刚才我们写下的是
忽略了
两上电子之间的相互作用
而实际上这两个电子之间
是有库仑斥力的
我们如何来考虑
这种库仑斥力的作用呢
我们可以把它等价的考虑为
这种相互排斥的力
部分地抵消了
原子核对电子的库仑引力
这种情形可以这样来想象
就是每一个电子
实际上是在
原子核以及另外一个电子
共同构成的
库仑场当中来运动
而电子是带负电的
这就使得这个电子
所感受到的
原子核的库仑引力被抵消了
由于这样的图像
这种作用
我们称之为屏蔽效应
这样一来
我们可以这样来想象
那就是
在考虑了两个电子之间的
互相斥力的情况下
每一个电子所感受到的
核电荷的数目
实际上就比 Z 要来的小了
这样的物理图像
就启发我们
把试探波函数
写成为这个样子
我们前面已经说
试探波函数
应当包含变分参数
这里我们就用 λ
来表示变分参数
而实际上这样的一个
含有变分参数的试探波函数
完全就是用变分参数 λ
去代替了原来所写下的
无作用情况下的
那个核电荷数 Z
这就是刚才所说的
屏蔽作用的一种数学表达
因此这里的 λ
不妨称之为有效核电荷数
实际上这里的 λ 起了
把波函数归一化的作用
我们来看看这个表达式
如果说从 Ψ 依赖于
坐标 r1, r2 的角度
来看这个波函数的话
实际上就是这样一个
指数函数的因子
然而别忘了
它其中包含有变分参数 λ
而既然我们要求
波函数本身必须是归一的
这个 λ 就要进入前面的
归一化因子
就是代入一个 λ 三次方
才能够做到归一化
所以说从变分法的角度来说 λ
应当称之为归一化因子
好
从这样的两个
数学的和物理图像的结合
我们可以有一个预料
那就是
当我们完成了变分法之后
所得到的那个 λ 的实际值
换句话说就是
让 H 取极值时候的 λ 的值
应该是比 Z 略微小一点的
这才一种是所谓的
屏蔽的物理效应
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
