当前课程知识点：量子力学（下） > 第十章 电子自旋 > § 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合 > 10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成
在这一节中
我们首先讨论
电子的总角动量问题
也就是电子的轨道角动量
和自旋角动量的合成问题
然后我们再讨论
电子的自旋轨道耦合
电子的自旋轨道耦合
对于原子中电子能级的分裂
和移动起着重要的影响
此外
在半导体材料
和其它新型材料中
也存在着
较强的自旋轨道耦合
因此自旋轨道耦合
对于这些材料的性质
起着重要的影响
另外
自旋轨道耦合
也是目前物理学的
一个热点研究方向
自旋电子学的基础
首先
我们来讨论一下轨道角动量
和自旋角动量的合成问题
实际上
电子既具有轨道角动量 L̂
也具有自旋角动量 Ŝ
那么
它们两者的矢量和就被称为
电子的总角动量 Ĵ
Ĵ = L̂ + Ŝ, 我们对照
角动量合成的一般规则
那么, 现在
第一个角动量的量子数 j1
就是电子的
轨道角动量量子数 l
它的取值
可以是 0, 1, 2 等非负的整数
而第二个角动量的量子数, j2
就是电子的自旋量子数
它的取值可以是 1/2
那么合成后的
总角动量的量子数 j 的
取值是 l+1/2 或者 l-1/2
但是在这里
我们要注意一个特殊的情况
也就是
当电子的轨道角动量
l = 0 的时候
电子总角动量的量子数 j
只能取 1/2
另外
我们还要注意到
电子总角动量的量子数 j
一定是个半整数
有了电子总角动量的量子数
那么我们就要问一个问题
电子总角动量的本征态
如何来构成呢
这时候就要利用到
用未耦合积来表示
来表示耦合积的CG系数
也就是
j1 = l, j2 = 1/2 的CG系数
在我们的这个问题中
总共有四个 CG 系数
它们列在下面的
ppt 的表格中
这四个 CG 系数分别对应着
J = j1 ± (1/2)
m2 = ±(1/2) 的 CG 系数
它们的具体的值
表示成为 j1 和 m 的函数
其中
j1 就是轨道角动量的量子数 l
m 就是总角动量的
同一量子数 mj
所以
电子的总角动量的量子数
j 取 l+1/2 的二分量波函数
可以写成下面的
列矢量的形式
在这个表达式中
mj 就是电子总角动量的
投影量子数
它的取值的最大值是 l+(1/2)
然后下一个值是 l + (1/2) -1
也就是 l －（1/2）等等等
构成了一个以 -1 为公差的
等差数列
一直到这个数列的最小的值
- l- 1/2
注意到
在这个二分量波函数的
列矢量中
上面的这个分量
对应着 m2 = 1/2
那么 m1 就取 mj - (1/2)
而与轨道角动量
有关的本征函数
就是球谐函数 Yl,m1
前面的这个系数
就是刚才的
CG系数表格中的
j 取 l+(1/2)
m2 = 1/2 的那个CG系数
完全类似地
在这个列矢量的表示中的
下面这个分量
m2 取 -1/2
那么 m1 就取 mj + (1/2)
而前面的这个系数
就是上面的
CG系数表格中的
m2 = -1/2
j = l+ (1/2) 的那个CG系数
在这个列矢量的表示中
它把它写成了
l 和 mj 的函数的形式
当然也可以把这个
二分量的波函数写成
j 和 mj 的函数的形式
就是下面这个列矢量的形式
这里我们要注意
一个特殊的情况
也就是
当电子的轨道角动量
量子数取 0 的时候
这时候总角动量的量子数
j 只能是 1/2
那么它的投影量子数就是
mj = 1/2 或者是 mj = -(1/2)
这样就有两个二分量的
波函数
其中第一个二分量的波函数
我们把它记为
ϕ 右下标 j = 1/2
mj 也等于 1/2
写成一个列矢量的形式就是
(Y00(θ,φ) 0)T
而我们又知道球谐函数
Y00(θ,φ) 是个常数
所以这个二分量的波函数
又可以写成 1/√(4π)
乘上列矢量 (1 0)T
而另一个二分量的波函数
我们将它写为 ϕ
右下标 j=1/2, mj=-(1/2)
写成列矢量的形式
就是 (0 Y00(θ,φ))T
而 Y00(θ,φ)) 就是 1/√(4π)
那么它又可以写成
1/√(4π) 乘上列矢量 (0 1)T
完全类似地
对于合成后总角动量的
量子数取 j=l-(1/2) 的
二分量波函数
可以写成
下面的列矢量的形式
注意到
在这个列矢量的表示中
我们将
这个二分量的波函数
写成了 l 和 mj 的函数
当然它也可以表示成
j 和 mj 的函数
也就是
下面的这个列矢量的形式
注意到
对于我们刚才提到过的
那个特殊的情况
也就是电子的轨道角动量
l=0 的时候
可以验证这些波函数
都等于 0
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
