12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射在线视频

下面我们把刚才得到的

各项同性相互作用

引起散射的玻恩近似公式

用在卢瑟福散射

那么大家知道

卢瑟福所进行的实验

就是用 α 粒子去打金原子

观察散射的角分布

因此现在我们研究的问题

就是有一个

带电荷为 Z′e 的粒子,

α 粒子就是

Z′= 2 的这个情形

被一个原子散射

由于原子里边既有原子核

也有核外电子

因此这样的入射粒子

所受到的静电相互作用

可以假设成为屏蔽的库仑场

这就是，除去库仑势之外

还添上一个

所谓的衰减的屏蔽因子

这里边 Z 是代表散射中心的

那个核电荷的数目

而这个因子是一个屏蔽因子

e^-r/a

这个 a 是某种原子半径

把这样一个表达式

代入到玻恩近似里边去

它给出来的就是

这里出现了一个 e^-r/a

作为一个被积函数的因子

而这一部分就是玻恩近似

原来给出的那个表达式

由于 V 里边有一个 1/r

和这个 r 消掉了

所以说

被积函数就简单的是一个

这样的正弦函数

和一个指数函数的乘积

作为被积函数

这样的一个积分

是很容易完成的

我们就不再进入它的细节

而直接给出这个积分的结果

除去这一些包括普适常数

以及核电荷

散射粒子电荷数

作为参数之外

重要的是这样一个函数

那就是 a²/(1 + a²q²)

这里的 a

可以看作是某种原子半径

用它再求模平方

就得到了微分散射截面

由于在卢瑟福实验里边

入射的 α 粒子的能量很高

所以 k 是一个比较大的数目

而且

为了证明原子的核式结构

最重要的是大散射角的情形

因此我们现在假设

k 很大, 散射角也很大

这样一来就可以认为

aq = 2ka sin(θ/2) >> 1 的量

因而这二者比较起来

这个 1 可以不再保留

最后我们发觉

这个微分散射截面

就成为一个这样的表达式

除去前边的这些普适常数

以及粒子能量

构成的一个常数之外

随着散射角 θ 变化的

是这样的一个函数

就是 1/sin⁴(θ/2)

这样的一个表达式

就称之为卢瑟福公式

这个公式表现出来的特征

是大散射角相对而言

具有比较大的散射几率

而这个结果

和所谓的布丁式的原子模型

是完全不同的

正是根据这个公式

对比在实验上测得的

散射截面

卢瑟福证明了

原子有核式的结构

意思就是说

原子的几乎全部的质量

都集中在一个

体积非常小的核里边

而全部的正电核

也都集中在这个核上

这就称为原子的核式模型

但是要注意

在卢瑟福进行这个实验时候

量子力学还没有诞生

所以

卢瑟福导出这个公式的时候

用的是经典力学方法

而且他也只假设了

库仑排斥作用

而没有考虑屏蔽效应

对于这样的结果

我们应该注意

下面这两点

第一

我们的计算用的是量子力学

但是后来我们做了

高能和大散射角近似

于是最后得到的公式里边

既没有普朗克常数

也没有所谓的原子半径

这就是说

在这样的近似之下

所谓的玻恩近似

其实回到了经典力学

这才使得卢瑟福

虽然用的是经典力学的方法

却能够发现正确的物理

但是要注意

如果我们

不做这样的近似的话

我们就必须回到

量子力学的表达式去

而在实验上

这体现在小角度散射上

其实就历史的事实而言

卢瑟福在做实验的时候

已经发觉

在小角度的区域

他的公式和实验

并不是很符合的

现在看来

这个原因是很清楚的

因为在小角度区域里边

刚才所做的近似

是不能成立的

因而必须回到完整的

玻恩近似的表达式

而在那个时候

量子力学的效应

换句话说

h 所带来的修正

以及屏蔽效应

也就是有限的 a 带来的修正

是不可以忽略的