当前课程知识点:量子力学(下) >  第十章 电子自旋 >  § 10.1 电子自旋及其描述 >  10.1.3 泡利矩阵的主要性质

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10.1.3 泡利矩阵的主要性质在线视频

10.1.3 泡利矩阵的主要性质

下一节:10.1.4 二分量波函数 矩阵算符

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10.1.3 泡利矩阵的主要性质课程教案、知识点、字幕

刚才我们已经指出

泡利矩阵

有非常广泛的应用

所以

现在我们来总结一下

泡利矩阵的主要性质

第一

泡利矩阵是厄密矩阵

这一点从泡利矩阵

代表可观察物理量的角度

是很清楚的

具体的也很容易给予检验

第二

很容易发觉

这三个泡利矩阵的

自身的平方

都是单位矩阵

所以泡利矩阵

一方面是厄密矩阵

另一方面

它的幂又是它自己

这意味着

泡利矩阵也是幺正矩阵

因为

幺正矩阵的定义就是

矩阵的幂

等于矩阵的厄密共轭

第三

我们来观察一下

两个泡利矩阵的乘积

这个乘积

就是简单的矩阵乘法

我们发觉

比如σx

乘以σy

等于负的这两个矩阵

交换一下的那个乘积

就是σy乘以σx

而且这个乘的结果

就是i乘以σz

把这个式子

再做一下x y z的循环置换

又可以得到

另外两个式子

所以说

泡利矩阵给我们提供了一个

这样的乘法性质

叫做反对易

意思就是说

当我们把两个矩阵的乘积

互相交换位置的时候

出现一个负号

我们可以把上面这两个性质

合在一起

写出一个这样的等式

那就是σi

乘以σj等于δij

加上一个iεijk乘以σk

这里的δij

表示i=j的时候是1

这个1也就意味着

单位矩阵

而i≠j的时候是0

这里的εijk

是所谓的三阶完全反对称

单位张量

这个张量

我们在以前讲角动量的时候

已经碰到过了

由于我们是用σ矩阵

来表达电子的自旋角动量的

所以很显然

这样的算符就是

电子的自旋角动量算符

应该满足

角动量算符的普遍性的

对易关系

而前面我们已经给出了

S=1/2ℏσ

σ是泡利矩阵

现在我们有了

泡利矩阵的乘法关系

也就很容易验证

由此得到的

电子自旋角动量的算符

满足角动量算符的

普遍的对易关系

第四个性质

我们给出

这样的一个矩阵乘法的结果

这里的a点乘σ

意味着一个矢量

和泡利矩阵的点积

按照矢量点积的定义

它就意味着

ax乘以σx加上ay乘以σy

再加上az乘以σz

这里的a可以是一个

数字的矢量

也可以是一个

作为矢量的算符

这里的算符的内涵

是比如和坐标有关的乘法

或者是微分运算

因此

实际上这样的一个

是2×2矩阵

它的矩阵元

可能是数字

也可能是

对空间的运算的算符

当然这里的bσ

也同样是矩阵

而矩阵元可能是数字

或者空间算符

左边意味着

这两个矩阵相乘

实际上它的运算基本上

是遵循

矩阵乘法的意义来做的

因此乘起来的结果

仍然是2×2矩阵

这样的矩阵

可以按照单位矩阵

以及σ矩阵做展开

计算的结果告诉我们

这个乘积的和单位矩阵

成正比的那个系数

就是

a和b的点积

而和σ成正比的那个系数

是a叉b

只不过

前面有一个虚数单位i

这样的一个乘法的结果

将会在后边得到它的

具体的运用

这些等式涉及到

代数的一些运算

也就是矩阵乘法

作为一个练习

同学们不妨自己来证明一下

量子力学(下)课程列表:

第八章 量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象 态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换 量子力学的幺正不变性

-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章 本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法 阶梯算符

--9.1.1 续

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

--9.1.4 续

-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章 电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述 泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数 矩阵算符

-第十章 电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构,超精细结构和兰姆移动

--第十章 电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成 单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态 贝尔基

-第十章 电子自旋--第七周的作业

第十一章 微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I:非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II:简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章 微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章 微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章 微扰论--第十周的作业

第十二章 散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法 散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章 散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.1 续

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章 散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章 散射理论--第13周的作业

第十三章 其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法 试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子 共价键

--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位 几何相位

10.1.3 泡利矩阵的主要性质笔记与讨论

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