当前课程知识点:量子力学(下) > 第十章 电子自旋 > § 10.1 电子自旋及其描述 > 10.1.3 泡利矩阵的主要性质
刚才我们已经指出
泡利矩阵
有非常广泛的应用
所以
现在我们来总结一下
泡利矩阵的主要性质
第一
泡利矩阵是厄密矩阵
这一点从泡利矩阵
代表可观察物理量的角度
是很清楚的
具体的也很容易给予检验
第二
很容易发觉
这三个泡利矩阵的
自身的平方
都是单位矩阵
所以泡利矩阵
一方面是厄密矩阵
另一方面
它的幂又是它自己
这意味着
泡利矩阵也是幺正矩阵
因为
幺正矩阵的定义就是
矩阵的幂
等于矩阵的厄密共轭
第三
我们来观察一下
两个泡利矩阵的乘积
这个乘积
就是简单的矩阵乘法
我们发觉
比如σx
乘以σy
等于负的这两个矩阵
交换一下的那个乘积
就是σy乘以σx
而且这个乘的结果
就是i乘以σz
把这个式子
再做一下x y z的循环置换
又可以得到
另外两个式子
所以说
泡利矩阵给我们提供了一个
这样的乘法性质
叫做反对易
意思就是说
当我们把两个矩阵的乘积
互相交换位置的时候
出现一个负号
我们可以把上面这两个性质
合在一起
写出一个这样的等式
那就是σi
乘以σj等于δij
加上一个iεijk乘以σk
这里的δij
表示i=j的时候是1
这个1也就意味着
单位矩阵
而i≠j的时候是0
这里的εijk
是所谓的三阶完全反对称
单位张量
这个张量
我们在以前讲角动量的时候
已经碰到过了
由于我们是用σ矩阵
来表达电子的自旋角动量的
所以很显然
这样的算符就是
电子的自旋角动量算符
应该满足
角动量算符的普遍性的
对易关系
而前面我们已经给出了
S=1/2ℏσ
σ是泡利矩阵
现在我们有了
泡利矩阵的乘法关系
也就很容易验证
由此得到的
电子自旋角动量的算符
满足角动量算符的
普遍的对易关系
第四个性质
我们给出
这样的一个矩阵乘法的结果
这里的a点乘σ
意味着一个矢量
和泡利矩阵的点积
按照矢量点积的定义
它就意味着
ax乘以σx加上ay乘以σy
再加上az乘以σz
这里的a可以是一个
数字的矢量
也可以是一个
作为矢量的算符
这里的算符的内涵
是比如和坐标有关的乘法
或者是微分运算
因此
实际上这样的一个
是2×2矩阵
它的矩阵元
可能是数字
也可能是
对空间的运算的算符
当然这里的bσ
也同样是矩阵
而矩阵元可能是数字
或者空间算符
左边意味着
这两个矩阵相乘
实际上它的运算基本上
是遵循
矩阵乘法的意义来做的
因此乘起来的结果
仍然是2×2矩阵
这样的矩阵
可以按照单位矩阵
以及σ矩阵做展开
计算的结果告诉我们
这个乘积的和单位矩阵
成正比的那个系数
就是
a和b的点积
而和σ成正比的那个系数
是a叉b
只不过
前面有一个虚数单位i
这样的一个乘法的结果
将会在后边得到它的
具体的运用
这些等式涉及到
代数的一些运算
也就是矩阵乘法
作为一个练习
同学们不妨自己来证明一下
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构,超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I:非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II:简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似