当前课程知识点：量子力学（下） > 第十章 电子自旋 > § 10.4 塞曼效应 > 10.4.2 正常塞曼效应
在这一小节中
我们讨论正常塞曼效应
1896年塞曼发现
原子的一条光谱
分裂成为三条的现象
这被称为正常塞曼效应
首先我们来讨论一下
哈密顿量中所增加的
那些项的大小
首先我们来看一下
哈密顿量中
与磁场强度B2成正比的
那些项
现在假设
原子的尺度就是a
也就是玻尔半径的量级
那么我们来考察一下
电荷e乘上矢量势A⃗
与动量P⃗的比值的
绝对值的大小
我们知道矢量势A⃗
写成对称的形式
就是(B×r)⁄2
如果将r取成原子的尺度
就是玻尔半径
那么矢量势A⃗的大小
就是B乘上玻尔半径a
而动量的大小又是
普朗克常数h除上a的量级
所以
|eA⃗⁄P⃗|的量级就是Ba2⁄h/e
而我们将分母上的这一项
h/e定义为Φ0
也就是
磁通量的量子化单位
代入基本的物理常数
Φ0的值大约是10-15韦伯
那么|eA⃗⁄P⃗|的量级就是Ba2/Φ0
也就是
系统的总磁通量与磁通量的
量子化单位的比值
在通常情况下
原子大小a约等于10-10米
而在通常的实验室条件下
磁场强度B小于10特斯拉
所以Ba2/Φ0<10-4
这样一来
我们将哈密顿量中的
(P̂⃗+eA⃗)2项
进行展开的时候
与B2成正比的项
和其它项相比就可以略去了
在这里
我们还要提醒同学们注意
类似的电磁场中
电子的哈密顿量的形式
在我们这门课程的第七章的
朗道能级问题中也碰到过
在这里要注意
原子中电子的塞曼效应
与朗道能级问题的区别
由前面的量级的分析
我们知道
原子中电子的塞曼效应
是由哈密顿量中
与磁场成线性的项决定的
而在固体样品的
朗道能级问题中
是由哈密顿量中与
B2成正比的项决定的
这背后的物理原因就在于
系统的总磁通量
与Φ0的比值
在原子的塞曼效应问题中
这个比值远小于1
而在固体样品的
朗道能级问题中
这个比值远大于1
另外我们再考虑到
假设外磁场比较强
那么自旋轨道耦合
相对于磁矩磁场相互作用能
又可以略去
这样
在这两个近似下
哈密顿量就可以化简成为
下面的形式
动能项加上势能项
再加上磁矩磁场相互作用项
将这样的哈密顿量
代入到薛定谔方程中
我们就可以得到
下面的这个方程
对于这个薛定谔方程的求解
我们首先考虑
外磁场B=0的情况
这时候系统守恒量的完备集
可以选取Ĥ, L̂2, L̂z, Ŝz
那么所对应的能量本征态
就由四个量子数
主量子数n
轨道角动量量子数l
轨道角动量投影量子数ml
以及自旋角动量的
投影量子数ms来表征
我们将同时本征态记作ψ
右下标nlmlms
而能量的本征值和
n和l这两个量子数有关
所以我们就有
下面四个同时本征方程
注意到在这种情况下
外磁场为0
那么哈密顿量
只有动能项和势能项
它们的和
作用在同时本征态上
等于Enl乘上同时本征态
而L̂2作用在同时本征态上
等于l(l+1)ℏ2
乘上同时本征态
L̂z作用在同时本征态上
等于mlℏ乘上同时本征态
Ŝz作用在同时本征态上
等于msℏ乘上同时本征态
而对于这量子数我们知道
当给定的主量子数n以后
轨道角动量的量子数
l的取值是0 1 2一直到n-1
轨道角动量的
投影量子数的取值是
l l-1 等等一直到-l
自旋角动量的投影量子数
ms的取值是1/2或者-1/2
进一步我们发现
如果将磁矩磁场相互作用下
再加进来
ψnlmlms仍然可以使上面的
薛定谔方程得到满足
只不过现在的能量
变成了下面的形式
首先现在的能量本征值
跟n l ml ms这四个量子数
都有关系
我们将它记作
E右下标nlmlms
它等于0磁场时的能量Enl
再加上磁矩磁场相互作用下
所导致的能级修正
Beℏ⁄2me (ml+2ms)
所以能级发生了分裂和移动
注意到
量子数ml和ms的取值范围
能级的改变
如果以Beℏ/2me为单位的话
就是下面的一系列的值
我们来看一下
能级改变的最大值
可以取l+1
它所对应的
能量本征态的量子数
ml取l ms=1/2
这个能级的简并度为1
所以我们把它称为单态
能级改变的下一个值为l
它所对应的
能量本征态的量子数
ml取l-1
ms取1/2
同样这个态也是单态
但是要注意到
对于能级改变的再下一个值
l-1的时候
有两个能量本征态
可以给出相同的能级改变
这两个不同的能量本征态的
量子数分别是
ml=l ms=-1/2以及
ml=l-2 ms=1/2
所以
这个态的能级简并度为2
我们把这样的态称为双态
其它态的能级改变
以及态的简并度
可以用类似的方法得到
但是实际能级的分裂
却并没有那么多
如果运用
电偶极辐射的选择定则
关于这部分的内容
请见后面的第十一章
能级跃迁要满足
l的改变△l=±1
ml的改变△ml = 0 ±1
ms的改变△ms = 0
那么
原来频率为ω0的一条谱线
现在就变成了三条
它们所对应的频率分别是
ω0 ω0＋Be/2me
以及ω0－Be/2me
以钠的D黄线为例
在不考虑
自旋轨道耦合的情况下
它对应着从3P能级
到3S能级的跃迁
加了强磁场以后
3P能级分裂为五个能级
其中有一个能级是二重简并
3s能级分裂成为两个能级
再考虑到
能级跃迁的选择定则
那么
从3P能级到3S可以发生
六种不同的跃迁
但是只对应着
三种不同的跃迁频率
因此原先的一条谱线
在强磁场的情况下
现在分裂成了三条谱线
但是
在光谱技术
已经可以很容易的分辨出
精细结构的情况下
如果将自旋轨道耦合略去
就显得过于粗糙了
我们再把
自旋轨道耦合加进来
那么利用微扰论
将自旋轨道耦合项作为微扰
在一级微扰近似下
我们发现
3P能级
仍然分裂成为五个能级
其中
一个能级还是二重简并的
3S能级
仍然分裂成为两个能级
但是在现在的情况下
能级分裂的间距却有了改变
在一级微扰近似下
这个改变与四个量子数
n l ml ms都有关系
有关这部分的推导
我们就不再详细给出了
感兴趣的同学
可以自行完成
这就使得从3P到3S的
6种跃迁具有5种的频率
它导致
频率为ω0的那条谱线
没有分裂
而频率为ω0+Be/2me的
那两条谱线
再各自分裂成为两条谱线
因此
D黄线在强磁场下
并且加了自旋轨道耦合以后
就分裂成为五条谱线
这就是强磁场下
考虑了自旋轨道耦合后的
塞曼效应
也就是实验中所观察到的
正常塞曼效应
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
