11.1.1 微扰论的基本构架在线视频

现在我们开始讲第十一章

它的内容是微扰论

首先我们要说明

对于实际的

量子力学的问题来说

可以精确求解的问题

是很少的

甚至可以说这一类问题

不到总量的百分之几

所以在量子力学里

近似方法有重要的作用

量子力学的问题

是多种多样的

所以近似方法也就非常之多

我们在这门课里不可能

周到的介绍各种方法

我们这里只介绍一种

比较广泛的得到应用的

近似方法

这就是微扰论

因为在很多情况下

在各种近似方法里面

首先可以尝试

把微扰论应用上来

首先明确

我们的问题

仍然是要求解

定态薛定谔方程

也就是能量本征方程

那就是哈密顿量算符H

作用于能量本征函数ψ_n

等于某一个

能量本征值E_n乘以ψ_n

这里的右下角标n

是能级的编号

然后我们也明确一下

在这一章里

我们只关心束缚态解

那么大家知道

对于束缚态而言

能量本征值是离散的

因此可以把这个n看作

取值在

非负整数上的一个指标

问题是

这个哈密顿量算符

比较复杂

不能够精确求解

那么所谓的微扰论

考虑H的这样一种情形

那就是H等于两项之和

前面这一项记作H⁽⁰⁾

后面这一项记作H′

并且H⁽⁰⁾是一个可解的

哈密顿量算符

意思是说

它的本征方程

已经解出来了

这里的所谓解出来

就意味着

全部的能量本征值

和对应的本征函数

都已经知道了

由于这里的能量和本征函数

只是H⁽⁰⁾的

本征值和本征函数

所以我们特地的

在它们的右上角加上括号0

而另外一项H′

它被称为微扰哈密顿量

是一个小的修正

这种小的修正

形式上的可以这样写

但是由于H′和H⁽⁰⁾

都是算符

所谓的算符的大小的比较

需要有一个

特殊的理解和说明

这样的式子的准确的含义

我们到后面

再给予明确的解释

现在我们先说

如果它相对于它很小的话

我们就可以采用

一种所谓的微扰方法

这就是我们下面

将要说明的方法

首先我们形式的把这个H′

重新写成为λ乘以H⁽¹⁾

并且

假设λ是一个小的实参数

这样的一个形容

很容易让我们联想到

高等数学里边的泰勒展开

所以我们可以把

要求解的这个

薛定谔方程的本征值

和本征函数

按照λ的幂次做展开

写出来就是

这个E_n等于第一项

不包含λ的项

加上第二项

包含λ的一次幂的项

加上第三项

包含λ平方的项

等等

完全类似的

这个波函数也可以写成为

第一项不包含λ

第二项包括λ的一次幂

第三项包括λ的二次幂

如此等等

当然

除去这里写明了λ

出现的地方以外

其它的各个部分

是不和λ相关的

我们可以发现

这里的E右上角0和

ψ右上角0是和λ

也就是和H′没有关系的

所以我们把它称为

精确的本征值和本征函数的

零级近似

E右上角1和ψ右上角1

就称为

精确的本征值和本征函数的

一级微扰论修正

而E右上角2和ψ右上角2

就称为二级微扰论修正

如此等等

那么一般的来说

由于H′是一个小量

所以

越高级的这个修正就越小

如果拿理论的计算

和实验进行比较的话

就可以只保留最低的那几级

就可以达到

令人满意的精度

这就是所谓的

微扰论的主要精神

现在我们就可以把

E和ψ的那个展开式

代入到原来的方程里边

得到的是这个样子的

H自己是两项之和

它所作用的波函数

是一个这样的

称之为微扰展开的级数

那么等式的右方的这两个量

就是能量本征值和波函数

都是这样的级数展开式

那么我们下面的办法

就是让这个等式的

两端的λ幂次相同的

那些项分别相等

于是就得到了一系列的方程

这些方程就被称为

各级的微扰论方程

当然

现在我们把一个本征方程

拆成了一个方程组

微扰论的好处是

这些方程组可以逐级解出

意思就是

如果你得到了

比较低级的那些方程的解

你就可以进一步再去解

高一级的方程

我们从0级方程开始看起

那就是

在刚才的那个式子里面

干脆让λ=0

所得到那个方程

很显然它就是

H⁽⁰⁾作用于ψ⁽⁰⁾

等于E⁽⁰⁾乘以ψ⁽⁰⁾

这里呢右下角的角标n

应该是一致的

我没有特别把它读出来

如果我们看一级方程的话

那就是

刚才那个方程里边

所有的

包含λ的一次幂的那些项

所构成的一个方程

它写出来是这个样子

括号里边是H⁽⁰⁾

减去E_n⁽⁰⁾它作用于ψ⁽¹⁾

等于这个等式右边是

-(H⁽¹⁾-E⁽¹⁾_n)ψ⁽⁰⁾

提醒大家注意

右上角标中

打了括号的这些数字

那么你发觉

这两个都是0

这里是1

而这里面是这两个都是1

这里是0

由此你就不难推想

二级方程应该是一个

这个样子的

那就是

这两个都是0

这是2

这两个都1

这是1

这里是这里是2

这里是0

如此等等

那么它们的规律就是

在同一个方程里面

在同一项里边

可能会有H E ψ的乘积

那么这些相乘的因子的

右上角指标之和

都是一样的

而且也就是这个方程的级次

刚才我们引入了一个

参数λ

并且假设

它是一个小的实参数

但是我们这样做的目的

其实仅仅是为了让这个

微扰论的各个级次

有明确的定义

当我们处理

实际的物理问题的时候

那个微扰的哈密顿量

就是H′

所以当我们重新回到H′

这个对象的时候

我们可以形式的让

刚才的那些方程组里边的λ

取作1

而H⁽¹⁾直接记为H′

于是上面写下的各个式子

就分别成为下边的样子

一个是能级

被展开为一系列的和式

只不过每一项

分别都在右上角标明了

它的级次0 1 2 3等等

波函数也是展开成为

各级的项之和

然后就是

把这些值和函数

要满足的方程组写下来

依然是0级方程

一级方程和二级方程

如此等等

它们就构成了微扰论的

基本方程组

这里有一个问题

需要说明一下

就是关于波函数的归一

一定要明确

所谓波函数的归一化

实际上是独立于

薛定谔方程之外的

所以上面的方程

并不涉及那个波函数ψ_n

是不是归一的

那么在微扰论的构架下

怎么来考虑

波函数归一化这个问题呢

常见的方法是这样的

我们先假定

波函数的各级微扰修正

意思是说ψ

右上角不等于0

而是1 2 3等等等

它们都和零级波函数

就是这个ψ

右下角n右上角0是正交的

也就是这个等式

大家还记得这个符号

表示的叫做内积

实际上是一个

这两个函数相乘之后

所做的积分

现在拿来取内积的是

ψ(0)和ψ(k)

右下角的n当然是一样的

这里的k从1开始往上增加

那么我们就可以证明

在这个时候

这些各级的

微扰论修正波函数

就可以由刚才所写下的

微扰论方程完全决定

关于这一点

当我们有下面更具体的

式子的时候就可以看出来

但是这样决定出来的

这些各级微扰修正的总和

所构成的那个波函数

却不是归一化的

那么

我们如何再得到

归一化的波函数呢

那就是

在这样的表达式前边

乘上一个常数

我把它记作z

右上角1/2意味着说

把这个z开个方

而把这样的波函数

记作ψ括号右下角R

这是一个和

原来求出的波函数

只差一个常数因子的波函数

那么这个Z如何来决定呢

我们就把Z的倒数

取作这个波函数的

自身的内积

于是你就发觉

如果我们现在再来做ψ

右下角R的自身内积

它就应该是

Z乘以ψ原解出的那个解的

波函数的自身内积

而根据Z的定义

这个乘积是1

也就是说

这个ψ右下角R

是一个归一好了的波函数

这个过程称为

波函数的重整化

事实上这个括号

右下角R的这个角标

就是重整化这个名词的

第一个字母

我要说明的是

下面的讲解

采用这种方法

来决定各级微扰波函数修正

但是我们只停留在

微扰修正波函数的计算

而不做波函数重整化的计算

其实

波函数是否被重整化

在本质上

并不影响波函数本身

可以完成的物理的功能

即使波函数是没有归一的

它并不缺少

任何物理的功能

只不过有些公式

要稍微修改一下

比如说

如果我们想计算

力学量的平均值的话

对于归一化的波函数而言

只是分子的这个因子

而如果波函数是没有归一的

就必须把它再除一下

波函数的自身内积