*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动在线视频

这一小节

是选修内容

在这里我们进一步讨论

氢原子光谱的精细结构

超精细结构和Lamb移动

由前面的课程知道

自旋轨道耦合的哈密顿量

虽然能够定性的说明

原子特征光谱中

精细结构的出现

但是在定量的水平上

却是不能令人满意的

也就是它给出的

能级分裂的间距偏小

这其中的一个重要原因是

自旋轨道耦合

在本质上是相对论效应

而前面给出的表达式

都是非相对论的近似

它要求粒子的运动速度

远远小于光速

如果电子的运动速度

和光速相比不是很小

那么质量变大

这样的相对论效应

就必须考虑

这时候就必须用严格的

相对论量子力学

来处理这个问题

在这样的框架下

实际上

自旋轨道耦合和质量变大

这两种相对论效应

是无法区分的

对于氢原子的问题

当电子处在基态的时候

我们发现

电子的平均速度和光速之比

就是精细结构常数α

α=k₁e²/ℏc代入基本的物理常数

精细结构常数α

约等于1137.037

所以

它并不是个很小的量

因此

对氢原子进行完全的

相对论处理是必要的

我们在这里不打算

详细介绍相对论量子力学

只是要指出

对于氢原子问题

完全的相对论处理

也是可以严格进行的

下面我们就简单介绍一下

相对论量子力学

对于氢原子能级问题的回答

首先我们来回忆一下

当不考虑电子的自旋

和相对论效应时

氢原子的能级

也就是下面的

这个氢原子能级公式

E_{n= -mk1²e⁴/2ℏn²}

这里n是主量子数

它的取值是1 2 3等正整数

在这里我们暂时不考虑

有限核质量的影响

也就是这个表达式中的m

就是电子的静止质量m_e

有趣的是

氢原子的这个能量公式

也可以用精细结构常数

表示成为下面的形式

也就是E_n= -mc²α²/2n²

在这里我们注意到mc₂

实际上就是电子的静止能

用相对论量子力学

来处理氢原子

那么我们就可以得到

氢原子的能级的精确表达式

就是下面这个

较为复杂的公式

在这里

有一个新引入的量子数κ

它的值

就等于±[j+(1/2)]的和

现在氢原子的电子状态

有四个量子数

n j m_j 和κ来表征

而j=1/2 3/2 仍然是

电子的总角动量的量子数

m_j=j j-1 一直到 –j

是总角动量的投影量子数

而新引入的这个量子数κ

等于±[j+(1/2)] 的和

它代替了

原先的量子数l的位置

κ＞0相当于l= j-(1/2)

κ＜0相当于l= j+(1/2)

而总量子数n

现在是径向量子数

n右下标r和κ绝对值的和

而径向量子数n_r的取值是

0 1 2的非负的整数

而κ的最小值是1

所以主量子数n的取值

就是1 2 3等正整数

反过来说

如果主量子数n取定以后

那么κ的绝对值

可以取1 2 3等等等

一直到n

从上面的氢原子这个能量的

精确表达式中

我们可以看出

给定了量子数n和κ的绝对值以后

氢原子的能量就完全确定了

而我们又知道

j=|κ|-(1/2)

所以也相当于n和j

这两个量子数

完全决定了氢原子的能量

而氢原子的能级只是对于

总角动量的投影量子数m_j

和κ的正和负是简并

所以能级的简并度

就是2乘上(2j+1)的和

但是注意

在这里有个特殊的情况

也就是总角动量的量子数

j取1/2的时候

能级的简并度只有2j+1=2

另外还请同学们注意

在这个氢原子能量的

精确表达式中ε

是氢原子的总能量

也就是

它包含了电子的静止能

动能和在库仑势场中的势能

为了和前面的结果

进行对比

我们要从这个总能量中

减去电子的静止能量

所以我们就得到了

下面这个表达式

显然

这里的大E是小于0的

这个表达式虽然精确

但是却比较复杂

由于α约等于1/137

那么α₂就是个小量

所以我们可以把

上面的这个表达式

对α₂进行展开

展开精确到α的四次方阶

我们就可以得到下面这个

近似的能量表达式

我们来看这个表达式

大括号中的第一项1

乘上前面的系数就是

不考虑电子的自旋自由度

以及相对论效应时

氢原子的能级公式

而大括号中的第二项

乘上前面的系数

就代表了考虑了电子的

自旋和相对论效应以后

所带来的能量的修正

它给出了

氢原子光谱的精细结构

这个结果和实验观测

完全一致

然而事情还不止于此

在谱线的分辨精度

进一步提高以后

发现氢原子的光谱

和上面的这个精细结构

还存在着微小的差别

也就是

氢原子光谱

还存在着超精细结构

和Lamb移动

从物理现象上说

超精细结构是

氢原子基态能级的分裂

它给出了

氢原子特征光谱中的

21厘米线

这条光谱线对于射电天文学

是非常重要的

超精细结构的物理起因

是电子的自旋磁矩

和质子的自旋磁矩之间的

相互作用

这种相互作用导致氢原子

精细结构分裂以后的

每条谱线

再分裂成为两条

而Lamb移动

是这样一个物理现象

根据上面的能级公式

E_nlj实际上是和

量子数l无关的

这是在库仑势场的

这个特殊的情况下

所产生的简并

也就是这要求

2S_1/2的能量

应该和2P_1/2的能量相等

但是实验发现2S_1/2的能量

略高于2P_1/2的能量

这个能级分裂的间距

非常之小

所以直到射频技术

取得了重大进步以后

Lamb和Retherford

才在1947年

用射频波谱学的方法

准确地测出了

二者的间距

所对应的频率是

1057.8±0.1MHz

而理论的分析表明

Lamb移动来自于

量子场论的高阶修正

也就是所谓的

真空极化和

辐射反冲效应

在实验的挑战下

量子理论

又向前发展了自己

这主要是解决了

量子场论中

所谓的发散困难

并且再次获得了

与实验观测完全一致的

理论结果

这是量子场论的一个

重要的进展

总而言之

氢原子是一个

最简单的原子

在数学上

处理起来比较简单

容易找到严格的解析解

所以

氢原子光谱的实验观测

对于量子理论的正确性

是一个理想的试金石

在这里

量子理论

既包括量子力学

也包括相对论量子力学

以及量子场论

因为在这里

一方面

实验可以测得很准

另一方面

理论也可以算得很准

我们可以说

直到目前为止

量子理论

在这个试金石面前的表现

是非常令人满意的

也就是说

理论计算的结果

与实验观测的结果

符合得非常好

这使得我们相信

量子理论对我们的

物理世界的描写

是相当正确和可靠的