当前课程知识点：量子力学（下） > 第十一章 微扰论 > § 11.4 光的辐射和吸收 > *11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论
下面我们来研究
不同的另外一个现象
叫做自发辐射
这一部分内容
也是打*号的非必修内容
事实上
当原子处在
外电磁辐射场中的时候
有三个过程同时发生
那就是
受激吸收 受激辐射
和自发辐射
我们前边用量子力学的方法
只处理了
受激吸收和受激辐射
但是自发辐射的过程
是不能用量子力学来处理的
因为这是一个光子
从无到有的过程
必须用量子电动力学的理论
也就是
电磁场的量子化的理论
来处理
尽管如此
爱因斯坦在1905年
却提出了一个很巧妙的办法
把自发辐射的强度
与受激辐射的强度
联系起来了
下面我们就来介绍
爱因斯坦的这个方法
根据我们前面的讨论结果
如果把原子放在一个强度为ρ(ω)
的能量分布的
电磁辐射场的里边
那么
它从态φk到φk′的跃迁速率
假设是受激吸收的过程
也就是Ek′＞Ek的话
那么这个跃迁速率
可以写成为一个系数
它和kk′有关
再乘以这个外电磁辐射场的
能量密度的频率分布
我们经过前面的计算
已经给出了这个系数
B{k′k}的具体的表达式
这个系数
爱因斯坦定义为吸收系数
安全类似的
受激辐射的跃迁速率
也可以写成为一个
类似的表达式
但是这个时候
要写右下角指标是kk′
因而B的右下角也是kk′
但是所乘的这个能量分布
却是相同的
因为向上跃迁和向下跃迁
所对应的能量差是一样的
而这个新的系数
称为受激辐射系数
根据我们前面的计算
这两个系数实际上是相等的
意思就是说
这个B对于它的两个下标
是交换对称的
而且这个系数
和入射光的强度无关
意思就是说
B不会依赖于ρ
为了描写自发辐射过程
爱因斯坦又引入了
自发辐射系数
它的定义是
原子自发的也就是说
在没有外光照射的情况下
也会发生的
从φk'到φk
跃迁的这个速率
其中始态比末态的能量要高
现在我们考虑
这样的一个系统
就是把许多这样的原子
放在一个电磁辐射腔里
并且假设它们和
电磁辐射场达到热平衡
这个平衡的温度记为T
这个T是一个绝对温度
当然这些原子
在热平衡的情况下
就会在它的能级上
有一定的分布
这个分布我们记作
单位体积里的原子数
对于能量的依赖关系
这个原子数记为n
右下角用指标k
来指定这些原子的能量
而对于这样的分布
是完全可以用
玻尔兹曼统计来表达的
那就是
在能量为Ek的那个能级上的
原子的数目
正比于这样的一个
负指数函数
指数上是Ek除以kBT
这个k右下角加了一个B
表示玻尔兹曼常数
这样的一个因子
通常被称之为玻尔兹曼权重
因此如果我们考虑
能量为Ek的和能量为Ek'的
原子数目之比的话
它是一个这样的指数因子
指数上是这两个能量之差
除以kBT
好
现在我们就来考虑
热平衡这个条件
当然由这个式子
我们发觉
由于k′
代表的是一个能量比较高的
状态
因此我们就知道
能量比较高的状态上的
原子的数目比较小
而能量比较低的
状态上的原子数目比较多
这样一来
这两个B是相等的
n是有一个大小的比例
因此这个乘积
也小于这个乘积
那么问题就来了
在热平衡的时候
很显然
每一个能级上的原子的数目
应该是保持不变的
这就要求
比如说
看一个单位时间间隔
那么从比较高的能级跃迁到
比较低的能级的原子的数目
一定要和比较低的能级
跃迁到比较高的能级上的
原子的数目是相等的
而那一部分的差
应该由谁来补足呢
应该由自发辐射来补足
因此我们应该写下
这样的一个等式
这边是从比较低的能级
跃迁到比较高的能级的
原子数目总数
这边呢是两个效应的和
一个是由于受激的作用
从比较高的能级
向比较低的能级跃迁的数目
而另外一项
是由于自发的过程
从比较高的能级
向比较低的能级的跃迁数目
在热平衡的情况下
这二者应该相等
所以注意到
这两个B实际上
是应该相等的
我们就得到了一个等式
左边是外辐射场
在这个频率上的
能量密度的分布
而右边是通过AB的比值
以及nk与nk′的比值
所构成的这个表达式
再把这个比值
用玻尔兹曼分布
所得到的这个规律
代进来的话
我们看到的是左边的
光场能量分布
和右边的这一系列的
因子的乘积
如果我们把它写的和
普朗克定律更明显地
可以做对比的话
把这样的一个因子
写成为一个分数
这很明显的让我们想起了
普朗克的黑体辐射频谱
那就是空腔辐射
在达到热平衡的时候的
空间能量密度
关于这个问题
我们在第一章里做过解释
那就是
这个普朗克能谱公式
它给出的恰好就是
热辐射场
在频率为ω的那个地方的
一个分布函数
把这两个式子做一下对比
让这个ρ(ω)
是一个同样的函数
我们就发觉了
在这里的这两个系数之比
再回顾一下它们的意义
那就是
A叫做自发辐射系数
B叫做受激辐射系数
右方
包含了ℏc这样的物理常数
π这样的数学常数
尤其是和ω的三次方有关
这个ω就是叫做跃迁的频率
也就是
在跃迁的时候的
光子能量除以ℏ
这个关系
就称为爱因斯坦关系
我们发觉
爱因斯坦这样的考虑
给出了自发辐射
与受激辐射之间的一个关系
而它的导出利用了
普朗克的能谱公式
如果我们把这个考虑
倒过来说
那么我们也可以认为
这样的一个论述
表明如果我们考虑
黑体辐射也就是空腔辐射的
空间能量密度
对频率的分布的话
那么我们可以说
它一定是有
普朗克公式的那个形式
差别仅仅是
这个因子前面的系数
在这个考虑当中
无法完全决定
如果我们再把
这样的一个公式
和高温极限下的
瑞利金斯公式进行对比的话
这个比例常数
也就可以确定下来了
所以说
爱因斯坦的这个推导
从这样的一个角度来看
等于认证了
普朗克公式的存在性
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
