10.1.4 二分量波函数 矩阵算符在线视频

下面一个问题就是

我们如何来描述

有自旋的电子

换句话说

当电子有自旋的时候

它的波函数是什么样子的

它的算符又是什么样子的

首先

我们来回忆一下

作为一个数字的矩阵的

本征值和本征矢量

我们这里取的叫做

S_z对角的表象

也就是说

S_z是对角矩阵

很显然

它的两个本征值

是它的对角元素

就是正或者负ℏ/2

而如果它的本征值是

正ℏ/2的话

它的本征矢量就应该是

上面是1下面是0

这样的一个二分量的列矩阵

通常在文献里边

把这样一个

二分量的单位矢量记作α

完全类似的

如果S_z的本征值是 -ℏ/2

那么

它的本征矢量是上分量为0

下分量为1的一个

二分量单位矢量

在文献里通常把它记作β

考虑完了

电子的自旋状态的描写之后

我们还应该

把电子的空间状态

也考虑进来

于是

我们可以利用一下叠加原理

那就是

电子的任意状态

应当包含

电子的自旋状态

是S_z=1/2的那个状态

有的时候我们称之为

自旋向上

这个成分会对应着

某种空间运动的特征

我们把这个特征

记为一个波函数ψ₁

同时

它还会有自选朝下的

那个状态的成分

而对应的

也有其空间运动特征

我们把它记作ψ₂

这两项加起来

应该完整的描述了

这个电子的运动状态α

实际上是上1下0

而β是上0下1

因此

这个波函数可以写成

这个样子

那就是

它是一个二分量的列矢量

而每一个分量

都是空间和时间的函数

这种波函数

称之为二分量波函数

也称之为二分量旋量

由于我们在计算矩阵元

或者是平均值的时候

还需要用到

这样的波函数的厄密共轭

所以

我们又引进这样的符号

Ψ^†

它是一个行矢量

每一个元素分别是原来的

列矢量的元素的负共轭

对于这样的波函数

我们应该有一个特别的理解

那就是ψ₁

和ψ₂分别的表达了

电子自旋向上

和自旋向下的这两个状态

在空间和时间中的分布情况

当然在最一般的情况下

这两个

很可能是完全不同的函数

那么在这个时候

我们就称

电子处于一种轨道和自旋

相耦合的状态之下

另外一个

更加量子力学化的术语

叫做轨道自由度和

自旋自由度的纠缠态

关于纠缠这个概念

我们将会在后边

有更进一步的解释

那么下边的一个问题

还涉及

如果波函数变成了

二分量波函数

算符又应该如何表达呢

很显然

从矩阵的角度来看

代表各种物理量的算符

现在应该成为2×2矩阵

而另一方面

很多物理量还和电子的

空间状态有关

因而

这样的2×2矩阵的矩阵元

还应该是空间和时间的运算

因此在这样的形势之下

所谓的力学量算符

一般成为这个样子

它是2×2矩阵

并且每一个矩阵元

都可能是

对空间的一个运算

这种我们把它称为

矩阵算符

对于刚才我们所讲的

矩阵算符

同学们可能会觉得比较陌生

现在我们就举一些

比较具体的例子

来说明它

一种情况

是某个力学量

实际上是和自旋无关的

比如说电子的动量

那么原来电子的动量

就是-iℏ乘以对x的偏导

那么

现在考虑有自旋的电子

事实上对于自旋而言

这个动量

是和它没有关系的

所以

它在自旋空间里边

实际上就是一个单位矩阵

这就是说

对于有自旋的电子

动量的算符就是

这样的一个2×2矩阵

它是对角的

每一个对角元素

就是大家原来所熟悉的

那个动量算符

也就是说

是原来大家所熟悉的

动量算符乘以单位矩阵

另外一个例子

是电子自旋这个物理量

而它呢

却是和轨道运动是独立的

所以

表达自旋角动量的算符

是和坐标无关的常数矩阵

并不包含对坐标的运算

而这些算符

就是我们所知道的

1/2ℏ乘以泡利矩阵

这两种情况都比较简单

但是

有一类物理量

是和空间运动

以及自旋运动都有关的

一个常见的例子就是

所谓的自旋轨道耦合算符

它的定义是

轨道角动量算符

和自旋算符的点积

这里的点积

是按三维矢量的意义

来理解的

因此就是

L_x×S_x+L_y×S_y+L_z×S_z

而这里边

L_x L_y 和L_z

是对坐标的运算

包括了r以及对r的微分

这些算符我们在第九章里边

已经做过介绍

而 S_x S_y和S_z

就是常数矩阵

把L_x S_x等等的具体表达式

代入进去

我们发觉

这个所谓的

轨道自旋耦合算符

是这样的一个表达式

大家发现

除去这里有一个1/2ℏ

普适物理常数以外

它的各个矩阵元

都是对坐标的一些运算

它的特点是

对角矩阵元

分别是L_z和负的L_z

而两个非对角矩阵元

如果大家回忆一下

我们在讲角动量的时候

所说的那个

升级和降级算符的话

右上角正好是轨道角动量的

降级算符

而左下角恰好是

轨道角动量的升级算符

对于这样的波函数和算符

那么原先我们给出来的

量子力学里的一些公式

就要加以修正

首先我们谈波函数的归一化

注意现在ψ

是一个二分量旋量

也就是说

是一个有两个分量的列矢量

而ψ^†

是有两个分量的行矢量

因此这里边应当理解为

这两个矩阵的乘积

然后还要对它们做

整个空间的积分

那么具体的写出来的话呢

就是

它的第一个分量的模平方

加上第二个分量的模平方

然后再做积分

所谓的归一化

就是这样的一个积分

等于1

实际上这就是把

原先我们所熟悉的

坐标波函数的归一化和

矢量作为波函数的归一化

联合起来进行一下

当然我们可以分别的考虑

两个不同的几率的意义

一个是空间的几率的情形

那么这个时候意味着

我们不计电子自旋状态

也就是说

把电子自旋朝上

和电子自旋朝下的几率

合起来计算

因而它实际上就是Ψ₁

的模平方加上Ψ₂

的模平方

它也就是

这个二分量波函数的Ψ^†

乘以Ψ

这里是一个矩阵的乘法

类似的

我们也可以不管

电子的空间位置如何

只问

电子的这两种自旋状态

各占有多大的几率

那么

电子自旋朝上的几率

就是把它的二分量里边的

上分量的模平方

对整个空间积分

而自旋朝下的几率

就是把下分量的模平方

对整个空间做积分

下边呢

就要问

假若给了我们一个算符是G

我们如何来计算它的平均值

那么公式呢是这个G

物理量的平均值

是就矩阵而言

是这样的一个

连续的矩阵乘法

不要忘了这里的G

现在是一个2×2矩阵

把这个矩阵乘法做完了以后

还要对整个的空间做积分

那么

由于G在一般的情况下

是包括了

对坐标函数的运算的

所以说

这样的一个矩阵乘法

实际上即包含了

对坐标函数的运算

又包含了矩阵的相乘

这些在做具体运算的时候

是需要加以注意的

下面我们来讲一下

对于自旋状态的理解

刚才已经指出

二分量波函数的

上分量和下分量

分别的表达了

自旋向上和自旋向下的

两种状态在空间上的分布

但是

有一些特殊的状态下

会有一些特殊的意义

这种所谓的特殊状态

是自旋和轨道

没有耦合的状态

更加量子力学的术语

叫做没有纠缠的状态

那么这种状态的波函数

有什么特点呢

它是这个样子的

这个仍然是代表一个

二分量波函数

现在它可以写成

两个部分的乘积

一部分简单的就是一个

空间的复函数

另外一部分简单的就是

常数的二分量列矢量

其中这个Ψ₀是一个复函数

并且满足

在全空间的模平方积分

等于1的归一化条件

而这里边的a和b

仅仅是复的常数

并且满足

a的模平方加上b的模平方

等于1的归一化条件

这就是所谓的自旋和轨道

不耦合或者说不纠缠的状态

我们介绍这样的状态

有什么意义呢

可以注意

自然界的电子当然是

带有自旋的

但是我们以前所处理的

薛定谔的量子力学理论

并没有考虑这一点

也做了很多的计算和实验

在一定的程度上

也是很符合的

为什么

我们可以这样来处理呢

从物理的实质上来讲

那样的处理实际上是假设了

电子就是处在刚才所说的

没有自旋轨道耦合的

那个状态之下

所以说

我们只需要考虑这个Ψ₀

它是空间和时间的函数

而那个常数的自旋波函数

当我们处理到最后的时候

它只出现为

a的模平方+b的模平方

而这是等于1的

因此它并不带来

可观察的影响

这就是从

带有自旋的二分量

波函数的角度

去重新理解

薛定谔的单分量波函数的

物理意义