当前课程知识点：量子力学（下） > 第十一章 微扰论 > § 11.4 光的辐射和吸收 > *11.4.3 对连续光谱的吸收系数
我们下面将要讲述的内容
是打*号的非必修内容
下面我们就把刚才得到的
跃迁几率的表达式
应用到更加具体的情况中
那就是
研究一下
原子对连续光谱的吸收
我们在上一节具体的去研究
共振跃迁的时候
已经指出
把跃迁几率
写成为δ函数
不是一个
很严格的准确的数学表达
更准确的数学表达
是这样的一个所谓
包含了积分核的积分表达式
事实上
这里的所谓的1/πt
乘以这样的一个因子
在t→∞的时候
它的表现
可以看作一个δ函数
因而更准确的来说
应该说是
这样的一个积分的最后结果
是把f(x)的x=0的值
提取出来
这个公式就使得我们
在后面可以比较直接的
得到物理上有意义的
一个计算式和表达式
现在我们假设
观察的是受激吸收情况
那么大家知道
这个时候
末态的能量高于始态的能量
因而这个量是大于0的
其实如果我们想处理
受激辐射的话
这个处理是类似的
可以比照着来进行
在受激吸收的情况下
我们要考虑的表达式
是这样的一个
跃迁几率表达式
从始态φk到末态φk'
在时间t的跃迁几率
那么
除去刚才已经处理过的这个
矩阵元的模平方以外
和时间t有关
以及和跃迁频率有关的
表达式是这一部分
把这两个式子做对比
我们就发觉
前边的那个写为
对x的积分的那个表达式
对于
跃迁几率这个表达式而言
应该认为那个被积的函数
变量x=ω–ωk′k
为了使这个积分有意义
这一部分
应该成为一个连续变量
在我们目前所考虑的
原子吸收光的情况
变成连续变量的是这个ω
我们下面就来解释一下
这是为什么
现在
F的模平方很显然
正比于E0的模平方
而E0作为电磁波的
电场振荡的振幅
它表现在
电场随时间和空间变化的
这样的一个表达式
那么大家知道
这样的一个电磁波的振荡
是能量的一个传播
它就会在空间形成一个
电磁波场的能量密度
而电动力学告诉我们
这样的波的空间能量密度
是和E0的平方有关的
当然由于这是一个振荡
当我们提到这个
能量密度的时候
是对时间求过了平均的
这个表达式就是
W就是电磁波场的
空间能量密度
除去前面这个因子之外
这里出现的就是E0的模平方
而E0就是这个振幅
在单位制的意义上
我这里的k1叫做
随单位制而变动的一个
普适常数
在国际单位制里
它是1/4πε0
而在CGS制里
它取作1
所以事实上
这个E02可以用8πk1w来代替
也就是说
直接用辐射光场的
空间能量密度
来表达这个量
还有另外一个问题是
通常来说
入射的光场不是单色光
单色光就是有
完全确定频率的光
而是一个波的一个谱
因此
事实上这个所谓的
空间能量密度
是随着不同的频率
有一个分布的
我们把这个空间能量密度
按照频率的一个分布
记作ρ(ω)
它的定义是
用这个ρ(ω)乘上一个
频率间隔dω
就是
等于电磁波在这个频率区间
也就是ω到ω+dω里边的
空间能量密度
因此
刚才我们写下的这个的w
在连续波谱的情况下
应该用ρ(ω)乘以dω来代替
因此现在进一步
刚才的那个
跃迁几率表达式里边的E02
就应该重新写为
8πk1乘以ρ(ω)dω
最后我们发觉
这个所谓的
跃迁矩阵元的模平方
被表达成为
这样的一个式子
其中除去这些普适常数之外
出现了ρ(ω)dω
表现了
外光场的强度的频率分布
而另外两个式子
是由始态波函数
和末态波函数所决定的
一些表达式
第三个需要考虑的因素
就是
通常来说
入射的光是自然光
而自然光意味着非偏振的
刚才我们考虑的是
要么沿着Z方向线偏振
要么绕着Z方向圆偏振
那么
什么是所谓的非偏振的呢
它可以看作是
在线偏振的意义上
就是沿着
X Y Z方向偏振的几率
各有1/3
而在刚才所说的
线偏振加圆匾振的意义上
意味着
m′′=0和±1
所对应的这个振幅
各占1/3
所以当我们考虑
自然光的时候
这个量要重新加以修改
那就是
把它们都算进来
然而每一种情形
只有1/3的几率
这就是说
现在要用这个模平方
对m′′的三种情形求和
再除以3
来代替最简单的一个
这样的单项的模平方
然后我们就可以注意
刚才的那个
对球谐函数的积分
它当然是和m′′有关的
而这些东西
都有其具体的表达式
于是刚才的那个3项求和
再除以3并不难计算
最后的结果是
这个表达式只有两种情形
前边已经说了
不会出现l′=l的这种情形
而当L′=L+1的时候
是这个表达式
当l′=l-1的时候
是这个表达式
而这两个表达式
又可以合起来用
l l′所构成的这个表达式
来统一写出
于是我们又把
这个所谓的矩阵元的模平方
重新改写成为这个样子
它的好处是
随着不同的角动量情形
这个表达式里边
已经很明确的
写下了它的结果
这里只有径向波函数的积分
没有具体写出
因为这依赖于
这些量子数的选择
但是它们也并不难计算
尤其要注意的是
这里出现了ρ(ω)dω
因此
我们再把这样的一个
跃迁矩阵元的模平方
代入到
跃迁几率的表达式里边去
就可以把它重新写成为
一个这样的表达式
那么大家发觉
最后重要的是出现了
这样的一个
和时间有关的因子
那么再回忆一下
我们前面所说的
把刚才的那个表达式
除以t对ω积分
再让t→∞
恰好就提取出了
被积函数的那个特定值
我们就得到下边的这个结果
因为P除以t得到的是λ
叫做跃迁速率
而被提取出来的不是别的
正好是ρ
的一个特定频率下的值
这个频率就是由
跃迁前后的能量差除以ℏ
所决定的那个频率位置
很显然
这样的一个表达式
我们把它叫做
可算的而且也是有限的
因为这里并不出现任何
δ函数这样的东西
当然从理论上来说
我们就算到这里为止
但是更实际的实验
是一个原子系统
吸收外来辐射的那个能力
例如表达成为
在单位时间内
吸收了多少
外来辐射的辐射能
但是从这个跃迁速率
是不难把这样的吸收能力
算出来的
如果我们考虑的是
发射过程
那么这个公式也是类似的
从上面的这个表达式
我们可以发现
这样的一个规律
那就是
如果原子是受到的
自然光的激发而发生跃迁
无论是吸收光还是辐射光
这个跃迁速率
或者说
吸收或者辐射的能力
实际上
和磁量子数是没有关系的
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
