当前课程知识点：量子力学（下） > 第十三章 其它近似方法 > *§ 13.3 突变近似和绝热近似 > *13.3.1 突变近似
现在我们再来介绍
量子力学的另外两种近似方法
就是突变近似和绝热近似
这也是一个选修的内容
事实上
这是整个的量子力学幕课的
最后一节
这两个近似
考虑的都是Hamiltonian量
和时间有关的情形
但是恰好是两种
绝然不同的近似极限
我们先来介绍
什么叫做突变近似
我们从一个具体的例子
开始说起
考虑一个
有β –放射性的原子
也就是说
原子核可以发生β –衰变
从原子核里放出一个电子
和一个电子反中微子
结果原子核自己的原子序数
也就是核电荷的数目
从Z变成了Z+1
那么现在我们考虑
β衰变里面放出的那个电子
实际上它的能量很高的
所以它从原子核当中射出来
到它离开原子核
所经过的这段时间
是非常短暂的
和原子里边的核外电子
运动的时间周期相比
这个时间
实际上可以忽略不计
这样一来
对于一个核外电子来说
在原子核发生衰变之前
他们感受到的
是核电荷数为Z的
一个Coulomb吸引场
而在衰变之后的核电荷数
变成了Z+1
如果我们略去
这个衰变的电子
穿过原子所花费的那段时间
可以认为原子核的Coulomb场
突然地发生了改变
我们把这个衰变时间取作
t等于0的那个时刻
那就意味着
电子感受到的势场
在t＜0的时候
是核电核数为Z的
那个Coulomb场
而t＞0的时候
是核电核数为最Z+1的那个
Coulomb场
这就意味着
系统的Hamiltonian量
在t＝0的时候
发生了突然的变化
这种近似就称之为
突变近似
那么最一般的情况
所谓的突变近似指的是
系统的Hamiltonian量
随时间有下面的
这样的变化
那就是
在t＜0的时候
Hamiltonian量是某一个H1
而在t＞0的时候
它突然地变到了H2
在这里
H1和H2自己
是和时间无关的
那么面对这一类问题
我们应该如何来处理呢
由于H1被假设的
是从t＝－∞到t＝0
延续了无穷长的时间
所以我们不妨假设
这个系统在t＝0的时候
处于H1的某一个能量本征态
当然在t＝0的时候
Hamiltonian量
突然地发生了改变
但是
系统的状态
却不会发生突变的
因为我们始终假设
波函数是连续函数
这样一来
如果我们把考察的对象
放在t＞0的
这一段时间的话
那么在这个时间段里
它的Hamiltonian量是H2
因而我们应该写出
以H2为Hamiltonian量的一个
Schrodinger方程
为了解这个方程
我们还需要初始条件
而这个初始条件
就可以取为
系统在t＝0的时候
所处在的那个H1的
某一个本征态
这两个条件结合起来
就可以解出
t＞0的时候的
系统的状态了
具体地说
我们把t＝0的时候
系统处在的那个
H1的本征态
记作φ1,k
这个k是标志H1的
本征态的一个量子数组
同时我们要假设
H2的本征方程
已经完全的解出来了
也就是说
我们知道H2的本征值的集
是E2,n
这里我们用n来代表
表征H2的
本征态的一个量子数组
同时我们还应该解出
对应于这个本征值的
本征函数
记作φ2,n
那么在t＞0的时候
系统的状态总可以写成
H2的本征态的线性组合
其中组合系数
一方面
包含一个这样的
和能量有关的相因子
而另外一方面
是由初始条件
所决定的一个系数
那么根据以前我们做过的推导
这个系数实际上就是
这两个态的一个内积
所以
从t＝0开始
继续向前走
系统可以处在
H2的任何本征态上
假设我们把
H2的第n个本征态挑出来
观察在t时刻
系统处在这个本征态的几率
那么它正好应该是
前面这个系数的模平方
而这个相因子的模平方是1
所以最后我们得到的
就是一个这样的结果
那就是说
假设这个系统
从t＝0的时候的那个状态
叫做1,k
跃迁到某一个H2的
本征态2,n的这个几率
实际上
就是这样一个内积的模平方
而我们要假设
这两个波函数
都是已经被解出来的
已知的波函数
因此这样的一个几率
是完全可以计算出来的
现在我们就把这个结果
应用到原子核
发生β –衰变的
那个原子里边的一个电子
假设我们只考虑
靠近原子核最近的
那个壳层里的电子
叫做K电子
问它的状态
会发生什么样的变化
在原子核发生衰变之前
它是处在
核电荷数为Z的一个1S态
这个1S就意味着K电子
因此
它的波函数就是这个样子
这里我们采用了
原子单位制
所以所有的这些系数
都显得特别简单
这里的Z
就是衰变之前的核电荷数
而这就是我们称之为φ1,k
的那个量子状态
而在原子核发生了衰变之后
核电核数变成了Z+1
因而它的状态
也就成为
这个波函数里边的Z
用Z+1来代替
因而根据刚才我们
所给的那个公式
一个电子从衰变以前的1S态
到衰变以后
仍然维持在1S态的
这个几率
就是这两个波函数的
乘积的积分
在求模平方
我们可以把这两个函数
具体的代进去
就成为这样的一个表达式
这里出现的Z3和(Z+1)3
分别是
这两个波函数的规一化因子
而它们的函数乘积之后
就形成了一个
这样的一个指数因子
而把这样的一个积分完成
很容易发现
它是一个这样的表达式
其中
与Z有关的出现在这里的
Z3$$(Z+1)3
以及(2Z+1)6
把所有的这些因子
按照Z的关系整理一下
我们发觉
它形成了一个这样的表达式
为了对这样一个表达式的数值
有更具体的印象
我们考虑一个近似的情形
就是Z＞＞1
大家知道
能够发生β –衰变的
原子的核电荷数
通常都是比较大的
那么
这样的一个几率
就可以近似成为
1减去1个分数
分母是4Z2
分子是3
那么在Z＝10的时候
这个数值是0.9932
其实相当的接近于1
但是呢
仍然和1略有差别
另外一个考虑突变近似的
一个例子
是所谓的瞬时变动的
无限深势阱
假设我们考虑一个势阱
原来是在区间x在0和a之间的
然而我们考虑
这个势阱的右边界
也就是x等于a的那个边界
在t＝0的时候
瞬时的移到了x＝2a
那么我们可以假设
在这个边界移动之前
系统是处在0到a上的
无限深势阱的基态上的
这就作为一个
t＝0的时候的初始条件
那么根据刚才的方法
我们就可以算出
这个粒子以后处在
0到2a的这个
无限深势阱上的
各个本征态的几率
把这个几率算出来
再乘以各个本征态的能量
算出它的平均值
你就可以证明
在突变以前和突变以后
能量的平均值是不变的
这就表明
所谓一个瞬时移动的边界
不会改变这个系统的能量
换句话说
这证明了
在势阱的壁瞬间移动的时候
外界是没有对这个粒子做功的
除此而外
我们有了一个
具体的波函数的表达式
就可以算出
在t＞0的时候
粒子的坐标几率的变化情形
看到它逐渐向
x从a到2a的这个区间中
逐渐扩散的过程
这实际上
模拟了气体向真空中的扩散
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
