*13.3.3 绝热近似和它的适用条件在线视频

下面我们就面临着

解这些方程的问题

那么大家很容易就发觉

这些方程当中最麻烦的

是左边是 a_n 的一些量

而右边除了这个量

和它有关的这个波函数之外

还包含了另外一些量

也就是说包含了一个

m≠n 的一个很大的和式

从解方程的便利的角度来说

如果没有这个和式

那么我们的问题

就变得很简单和很直接

因此我们就可以做一个近似

这个近似就是

在上面的那个微分和

积分方程里面

把 m≠n 的一个大求和

完全略掉

这样一来

微分形式的方程

就变成了 a_n 自己的时间导数

等于 a_n 在再乘上一个

这样的第 n 个

本征函数的

时间微分和它自己的内积

也就是说

全部的方程只牵涉一个指标

就是 n

完全类似地

对于那个积分形式的方程

也就是把那个和式完全略去

那么这样的一个

完全从解方程便利的角度

所作的近似

究竟是什么样的意义呢

或者说舍去这些东西

会带来多大的误差呢

为了估计这个误差

我们利用积分形式的方程

比较方便

那就是说

我们在那个

略去了的和式当中

提取其中比较简单的那一项

也就是 l＝0 的那一项

这个项写出来

是一个这个样子的

它和 a_m 有关

而这个 m≠n

还包含一个这样的一个相因子

那么大家知道

这个相因子的模是 1

所以说这不是带来误差的

主要因素

带来误差的主要因素是这个因子

因此我们可以这样设想

如果这个因子的绝对值很小

那么我们忽略掉这个项

就是有道理的

我们把这个因子

具体地写出来

就是这样的一个模

它是分子上是

n 和 m 这个本征态的

时间导数的内积

底下是 n 和 m

这两个态和能极之差

再除以 ℏ

我们把这个量记作β

右下角给予指标

来表明这是第 n 个和

第 m 个本征态

而构成的这样的一个量

而可以略去那个和式的条件

就是这个量要 <<1

当然要考虑到

m 可以取各种不同的值

只要不等于 n 就行

要求所有的这些东西都小于小于1

自然就是

如果考虑它的最大的那个 << 1

那么其他的也都可以满足了

所以我们把所有的这个比值当中

只要 m 不等于 n

其中最大者就记作 β

并且把它称为绝热参数

所以说

这个条件可以化为 β<<1

如果我们更直观地来说

那么这个条件就是

这个能量本征态的变化率

它理解成为

能量本征态随时间的变化

再和另外一个本征态去求内积

那么这样的一个变化率

相对于所谓的

能量本征态之间的跃迁的频率

因为大家知道

这个跃迁频率就是

能级差除以 ℏ

如果这二者的比值很小的话

那么我们可以直观地说

就是所谓瞬时能量本征态的

时间变化率

是一个小量

当然我们发觉

这里边出现了一个能级差

在分母上

所以如果这个能级差

是一个小量的话

那么这样的一个近似条件

是比较难于被满足的

所以从比较直观的

意义上来说

这样的绝热条件

不大能够适用于

何谓系统的能级

有简并或者近简并的情形

为了对这个条件

有一个更进一步的理解

我们再稍微地

做一下进一步的处理

那就是

我们把瞬时能量本征方程

做一下对时间的微分

那么左边应当出两项

就是 H 自己的时间微分

和能量本征态的时间微分

右边当然也出两项

就是能量本征值对时间的微分

和能量本征态对时间的微分

然后我们再来做

这个方程和某一个

能量本征态的内积

那么这个量

正好是我们刚才

在绝热近似条件里边

出现在分子上的那个量

而根据这个方程

我们可以把它重新写为

这个样子

上面是哈密顿量自己

对时间的微分的

一个矩阵元

下面是对应这两个能级的

能量之差

当然这里是

m 要不等于 n 的

因此我们就可以把绝热条件

改写成为这个样子

那就是

分子上是

哈密顿量

对时间的导数的

一个矩阵元

而分母上是

这两个能级的能量差的平方

除以 ℏ

而这个量要小于小于 1

当然这还不是太清楚

我们再把它稍微地改写一下

那就是

哈密顿量的

时间倒数的矩阵元

除以两能级之差

这个东西的绝对值

要小于小于两能级之差除以 ℏ

当然我们发觉

这两边都是某种频率

它可以认为

表达了哈密顿量

随时间变化的快与慢

也就是说

可以定义为 H(t) 的

相对时间变化率

而右边这个

就是两能级之差

跃迁的这个频率

从这个角度我们可以

把刚才的那个绝热条件

更直接的理解成为

H 哈密顿量

随时间缓慢变化

因此我们前面提到的

这样的一个近似

面对的是

H 随时间缓慢变化的情形

就可以具体地被表达成为

这样的一个不等式

大家发觉

这样的一个不等式

有点类似于

微扰论成立的条件

只不过现在这一方面

不是所谓的

微扰哈密顿量

而是哈密顿量

随时间的变化率

我们可以在这样的近似之下

把微分形式的那个

演化方程

完全积分出来

那么这个积分的结果

就是你所选定的某一个

本征态的展开系数的

时间变化

写成为它的初始值

乘上这样的一个相因子

所以我们就可以把

这样的一个结果

总结成为一个

所谓的绝热定理

那就是

在绝热条件得到满足的时候

在我们前边的方程里

那就是

把那个 m 不等于 n 的求和式

完全舍掉不要的时候

只要知道了

系统在 t＝0 的这个初始时刻

处在第 n 个本征态上

那么这个态

此后随时间的演化

就是瞬时本征态

再乘以两个相因子

这一个相因子

是取决于瞬时本征态

和时间的变化关系

而这一个相因子

取决于能量随时间的变化

从这个表达式

我们可以看出来

在绝热近似

可以应用的条件之下

如果这个系统

一开始处在

某一个瞬时本征态上的话

那么它以后永远处在

这样的一个瞬时本征态上

也就是说

哈密顿量

随时间的变化

不会引起这个系统

从某一个瞬时本征态

跃迁到其他的

瞬时本征态上去

但是

系统处在这个

瞬时本征态上的位相

是要随时间而变化的

这就是绝热近似

带给我们的最主要

一个物理的图景