8.3.1 两种态矢量在线视频

在前面的两节

我们介绍了一下量子力学的

矩阵形式

从那个介绍

大家已经发现

量子力学可以用不同的形式

来表达

这种形式我们称之为表象

不同的表象

所表达的物理的内容

其实是完全相同的

但是在表面上看

这些表象的形式

很不一样

为了避免不同的表象带来的

形式上的差异

狄拉克引进了一种

新的符号体系

他的最大的特点

是表象无关性

这个符号体系

以后就被称为

狄拉克符号

由于我们在后面的

某些内容当中

要利用狄拉克符号

来表达某些公式

所以

我们在这一节里

对狄拉克符号

进行一个比较系统的介绍

首先来介绍

在狄拉克符号里边

表示量子态的符号和方法

一个量子体系的状态

也就是量子态

在狄拉克符号里

用态矢量来代表

态矢量有两类

一类称为右矢

就是这个符号

一条竖线

加上一个向右指的斜箭头

另外一个叫做左矢

一条竖线

左边加上一个向左指的箭头

在这个竖线和箭头之间

可以填进去

表征这个量子态特征的

任何说明

比如说

这个量子态的物理量

比如说

这个态的量子数

也有的时候

就简单的写一个ψ

或者φ来表明

这是一个给定的量子态

这两种所谓的态矢量

可以有一个这样的变换关系

这里在态矢量的中间

加上了ψ

表明这是一个给定的

大家来考虑的一个态矢量

左边是一个左矢

右边是它所对应的右矢

这个等式的意思就是

同样态矢量的左矢

是右矢的厄密共轭

完全类似的

右矢也是左矢的厄密共轭

其实这意味着

两次厄密共轭运算

是恒等的运算

当然这里大家会问

我们并没有对

态矢量的表达方法

做任何规定

那么什么叫做

态矢量的厄密共轭运算呢

在狄拉克符号的

这个体系里边

厄密共轭运算

只是一种

满足某些公理要求的

形式运算

并不对它进行具体的

运算方法的规定

这个情况

以后大家要逐步适应

现在我们考虑两个量子态

一个记作ψ

一个记作φ

当然这里写的是右矢

每一个态

也都有它对应的左矢

然后我们引入这样一个符号

那就是左边写一个左矢

右边写一个右矢

这二者的竖线

是公有的

狄拉克符号里

把这样的一个对象

定义为代表一个复数

称为这两个态矢量的内积

这里一定要注意

实际上

这里意味着一个所谓的

二对一的对应关系

二指的是

从态矢量空间里

拿出两个元素

对一意味着

在复数空间里

对应着一个复数

即然它是复数

我们就可以问

这个复数的共轭

是一个什么样的对象呢

狄拉克符号体系里规定

这个内积的复共轭

仍然和你所取的

两个量子态有关

只不过

在构造这个内积的时候

把原来用右矢

来表达的那个态

换成左矢

原来用左矢表达的那个态

换成右矢

这实际上

是一种自对偶的关系

现在

如果我们考虑

由同一个量子态的

左矢和右矢

所构成的这样的内积

那么

它的复共轭

就是它自己

所以说

这样的内积

是一个实数

实数并不意味着正数

或者非负数

但是在标准的

狄拉克符号体系里

有一个补充的假定

那就是

同一个态矢量构成的内积

必是大于或等于零的

我们把这个性质

称为态矢量模的正定性

这里有可能大于

也可能等于0

那么

狄拉克符号又规定了一个

等号成立的唯一情形

那就是

这个态矢量本身等于0

如果把态矢量

对到在线性代数里边的

一个矢量的话

这个态矢量等于0

实际上对应着所谓

线性空间里的零矢量

它的含义是

所有的分量

都等于零

用这样的一个内积

就可以把量子态的归一

写成为

同一个量子态的

左矢和右矢的内积

等于1

而如果有两个不同的态

一个是ψ

一个是φ

它们二者的正交

就是这样的一个内积

等于零