11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法在线视频

在这一小节中

我们转而讨论

当哈密顿量

与时间有关的时候

含时薛定谔方程的解法

也就是我们在这里要回答

与量子跃迁有关的问题

量子跃迁是量子力学的

重要物理现象

它的基本物理图像是

由于外界的扰动

或者内部的相互作用

量子体系

从一个能量本征态跳到

另一个能量本征态的过程

同时放出或吸收一定的能量

或者用

更为专业的术语来表述

就是从

一个能量本征态跃迁到

另一个能量本征态的过程

量子跃迁的典型例子包括

原子 分子 原子核发射

或者吸收光子的过程

原子核的放射性衰变现象

等等

在这里

我们只是在与时间有关的

微扰论的框架下

来处理量子跃迁问题

它的基本方法如下面所示

假设

现在哈密顿量与时间有关

那么体系的哈密顿量

仍然可以写成两部分的和

其中第一部分

H₀是和时间无关的哈密顿量

我们把它称为

末微扰哈密顿量

而H′(t)

是与时间有关的微扰项

在这里需要说明的是

对于量子跃迁问题

我们总是假设

在时刻t＜0的时候

微扰哈密顿量H′(t)≡0

也就是我们只是关心

当时刻t≥0时

体系的状态

如何随时间演化的问题

在这种情况下

含时薛定谔方程就变成了

下面这个方程

iℏ乘上对波函数的

一阶偏导数

等于H₀+H′(t)的和

作用在ψ(t)上

当然现在的时刻是t≥0的

对于这个问题

假设

我们已经解得了H₀的能谱

将它们记作大括号E_n

而相应的能量本征函数

记作大括号φ_n

也就是我们找到了下面

能量本征方程的解

也就是H₀

作用在φ_n上等于E_n乘上φ_n

那么根据上一节的讨论

我们知道

如果外界微扰哈密顿量

H′=0

也就是

系统的哈密顿量只有

H₀这一项

那么

含时薛定谔方程的一般解

就可以写成下面这个形式

对n的求和

a_n乘上e指数函数上-iE_nt

除上普朗克常数ℏ

再乘上φ_n

注意这里的展开系数a_n

是和时间无关的

但是如果

含时微扰哈密顿量H′≠0

我们这时候

仍然可以将波函数

展开成为φ_n的

线性组合的形式

只不过这时候组合系数

就变得和时间有关了

也就是我们仍然可以将

一般的波函数

Ψ(t)写成对n的求和

这里a_n是和时间有关的

我们把它记为a_n(t)

再乘上e指数函数上-iE_nt

除上普朗克常数乘上φ_n

这种方法被称为变系数方法

将波函数的这个展开式

代入到薛定谔方程中

我们注意到

含时薛定谔方程

等号左边是i乘上

对时间t的一阶偏导数

作用在波函数Ψ(t)上

而波函数Ψ(t)的展开中

有两项和时间有关

那么

对时间的一阶的导数

作用的结果就是

首先保持e指数函数不变

对组合系数a_n(t)的一阶导数

另一项的贡献是

将组合系数a_n(t)保持不变

对e指数函数的导数

于是就得到了这一项

而我们又注意到

在含时薛定谔方程的

等号右边是

H₀+H′(t)的和

作用在波函数Ψ(t)上

而H₀作用在波函数上面

它就是

a_n(t)乘上e指数函数-iE_nt

除上普朗克常数ℏ保持不变

然后再乘上H₀作用在φ_n上

而H₀作用在φ_n上

就等于E_n乘上φ_n

于是我们就得到了

等号右边的这一项

注意等号左右两边

与E_n有关的项

实际上是可以互相消去的

于是我们就得到了

关于a_n的这样一个方程

在这个方程的左右两端

我们乘上

H₀的某一个能量本征函数

φ_m的复共轭

再对全空间积分

利用H₀的本征函数系

φ_n的正交归一性

那么就可以得到

组合系数a_n(t)所满足的

下面的常微分方程组

在这个方程中

H′右下标mn（t）

就是含时微扰哈密顿量H′

在H₀的两个能量本征态

φ_m$$φ_n上的矩阵元

具体的把它写出来

就是φ_m的复共轭

乘上H′作用在φ_n上

然后对全空间积分

或者用我们前面引入的

狄拉克记号就可以写成

下面这个简洁的表达式

而在这个常微分方程组中

e指数函数中所出现的ω

右下标mn

它就是

H₀的两个能量本征态的

能量差E_m-E_n

再除上普朗克常数ℏ

为了简单起见

我们假定初始条件是

系统在t=0时刻

也就是初始时刻处在

H₀的某个能量本征态上

我们将这个能量本征态

记为φ右下标k

这个假设是合理的

这是因为在t＜0的时候

并不存在着微扰哈密顿量

这也就意味着

对于展开系数a_n(t)

有这样一个初始条件

a_n(t)当t=0的时候

等于克罗尼克的δ记号

δ右下标nk

它的含义就是

当n=k的时候

这个组合系数

a_n(t)在t=0时刻等于1

而当n≠k的时候

这个组合系数a_n(t)

在t=0时刻就等于0

注意

到目前为止

我们没有做任何的近似

但是对于一般的情况

也就是对于一般的

含时哈密顿量H′(t)

前面的那个常微分方程组

也是很难求解的

所以在这里我们利用

微扰论来对这个问题

进行求解

我们完全仿照

前面的定态微扰论的做法

也就是首先我们将

含时哈密顿量H′(t)中

引入一个小的参数λ

也就是把它写成λ

乘上H右上角1

它是t的函数

此外

我们也将组合系数a_n(t)

写成λ的幂次展开的形式

也就是

将a_n(t)写成0阶组合系数

a_n⁽⁰⁾(t)加上λ乘上

一阶组合系数a_n⁽¹⁾(t)

再加上λ²乘上

二阶组合系数a_n⁽²⁾(t)

等等等

将这样的展开形式代入到

前面的常微分方程中

那么

那个常微分方程就变成了

下面的展开的形式

我们在比较这个常微分方程

等号左右两边λ

的相同幂次的系数

那么就可以得到

关于组合系数a_n(t)的

一系列的方程组

在这个方程组中的第一项

a_m⁽⁰⁾阶它所满足的方程就是

iℏ乘上0阶组合系数

对t的导数等于0

而第j+1次的组合系数

与第j阶的组合系数

它们的关系就满足

下面这样一个方程

而j是0 1 2 等非负的整数

然后我们再令λ=1

那么上面的各个方程

就分别变成下面的这些方程

首先

我们来看一下0阶组合系数

所满足的方程

这个方程是很容易求解的

实际上它就意味着

0阶组合系数是一个常数

也就是

0阶组合系数可以用

初始条件给出

它就是等于

克罗尼克的δ记号

δ右下标nk

这也给出了一阶微扰修正

所满足的方程

也就是

一阶组合系数

所满足的这个方程

它是iℏ乘上一阶组合系数

对时间t的导数

等于对n求和

微扰哈密顿量H′(t)

在态m和态n下的矩阵元

再乘上e指数函数

指数上iω右下标mn

乘上t再乘上0阶组合系数

而我们知道0阶组合系数

就是这个

克罗尼克的δ记号δnk

那么实际上

这个求和只有一项有贡献

也就是n=k这项有贡献

那么最后我们就可以得到

一阶微扰修正所满足的方程

它就等于

H′右下标mk(t)

再乘上e指数上

iω右下标mk乘上t

在下面的讨论中

我们只关心

初态和末态不等的

量子跃迁过程

也就是m≠k的情况

也就是从初始状态

向其它状态的量子跃迁过程

这时候

准确到一阶微扰修正

那么我们可以将

一阶组合系数

右上角的(1)略去

并且把m记作末态k′

那么

从k态到k′态的跃迁整符

就可以写成下面这个积分

它等于iℏ分之一

t′从0到t积分

被积函数是

含时微扰哈密顿量H′(t′)

在k′态和k态下的矩阵元

再乘上e指数函数上

iω右下标k′k乘上t′

注意

末态k′并不等于初态k

因此从初始时刻

t=0开始到时刻t

体系从初态φ_k跃迁到

末态φ_k′的跃迁几率

就是这个跃迁几率整符的

模平方

我们将

从k态到k′的跃迁振幅

代入这个表达式

注意到

它就可以写成下面这个式子

这个公式成立的条件是

跃迁几率远远小于1

我们发现

这个跃迁几率

与微扰哈密顿量H′(t′)

初始波函数φ(k)

末态波函数φ(k′)

以及初态和末态的能量差

E_k′-E_k也就是

H₀的能级结构都有关系

如果含时微扰哈密顿量

H′(t)随时间的变化

是足够快而衰减的

那么量子跃迁的跃迁几率

在t→∞的时候

就趋近于由下面这个公式

给出的一个有限值

这是因为H′(t)

随时间足够快的衰减

保证了在这个表达式中

对无穷区间上的积分

是收敛的