当前课程知识点：量子力学（下） > 第十二章 散射理论 > § 12.2 中心势场中的分波法 > 12.2.1 续
这个表达式呢
还是比较复杂的
我们对它进行一些化简
那就是把这个 2i
和这个括号里边的东西
重新整理一下
还发现了
这里的 il 和这个
实际上是可以消掉的
这样的一番整理
给出了一个
相对比较简单的一个表达式
那就是
前面有一个 1/k
后边是一个
对阶次 l 的一个求和
作为 θ 的函数
就是勒让德多项式
而它前边的系数
和相移 δl 有关
这个依赖是 sinδl
乘以 eiδl
这样一来
我们就发觉
一旦各阶的相移 δl
都通过解刚才的方程
求出来了
那么
f(θ) 也就完全被决定了
这就是分波法的主要的精神
由于我们把 f(θ)
写成了一系列的项的和
所以说
我们把其中的某一项
和 l 有关的那一项
称之为分波振幅
那么我们发觉
每一个分波里边
和 θ 有关的那个函数
就是勒让德多项式
这是完全定义好了的函数
比如说
头三个勒让德多项式
是这个样子的
所以我们把它当作一个已知
那么这就表明
对于确定各个分波而言
最重要的
是它前面的系数
而这个系数
正像我们刚才所指出来的
是 sinδl 乘以 eiδl
这就是决定
这个分波的最重要的因子
如果我们用这样的 f(θ)
去算微分截面的话
那就是
求这个 f(θ) 的模平方
也就是
这样的一个模平方
其实
这里仅仅是把 f(θ) 的展开
代进去重写了一遍
这主要的原因是
这些交乘项没有办法
再更具体地写出来了
这里最容易犯的错误理解是
这样的一个
求和之后的模平方
就等于每一项的模平方的和
其实这是不对的
所以说
不能以为这样的式子
就可以简单地算出微分截面
但是如果我们算总截面的话
这个问题却是不出现的
我们具体地来说明一下
这里的理由
总截面应该是微分截面
对全立体角的积分
由于它现在和 φ 没关系
所以说对 φ 的积分
直接得一个 2π
需要做的是这个 θ
对于 sinθdθ 的积分
θ 从 0 到 π
然后我们要把刚才写的那个
σ 的和式要代进来
要注意
其实它是一个模平方
我们可以把它写成一个
二重求和
这里边的求和指标
被写作 l 和 l′
因此就会出现这样的
对于勒让德多项式的
一个积分
这里可以利用
勒让德多项式的正交性条件
也就是说
这个积分只在 l=l′ 的时候
才不等于 0
因此
这里出现一个因子是 δll′
而当 l=l′ 的时候
它的积分是 2/(2l+1)
而下面的求和
当 l=l′ 的时候
它才不等于 0
因而可以直接的
在这个表达式里边让 l=l′
于是
就变成了一个这样的结果
前面是 4π/k2
后边是对指标 l 的求和
而每一项
都是和 sin2δl 成正比
δl 再一次是
所谓的第 l 阶的相移
上面我们介绍的
就是分波法的一般形式
我们发觉
这个方法所得到的表达式
在原则上是一个无穷级数
这就要求我们
解出各阶的相移 δl
但是这当然是一个
不现实的要求
如果随着 l 的增加
δl 很快地减小
那么这个级数呢
就会很快地收敛
就有可能只计算前几项
就能得到一个好的近似
那么问题是
究竟我们应该计算多少项呢
那么我们可以利用
一种经典的图像
进行一下估算
首先我们假设
这个相互作用是短程的
意思就是说只有当距离 r
小于某一个参数 a 的时候
这个相互作用才是明显的
一旦 r>a
这个作用就可以忽略
这个参数 a 称之为
这个相互作用的力程
这是第一
第二我们再假设
粒子的动量是 p
瞄准距离是 b
这意味着
当我把这个粒子的轨道
延长到散射中心附近的时候
散射中心
到这个轨道之间距离就是 b
很显然
根据角动量的定义
这个粒子的角动量
就是 pb
我们把它记作 L
正因为
刚才我们所说的 b 代表着
这个粒子入射的轨道
与散射中心
可能达到的最小距离
所以如果 b>a 的话
这两个粒子之间
可以说没有相互作用
也就是说
发生散射的几率是很小的
因此
发生显著的散射的条件
就是 b≤a
我们再把刚才所得到的
bp = L
写成为 b=L/p
再考虑
在量子力学里边的 p 就是 ℏk
而 L 就是 lℏ
因此
上面这个关系就化成了 l/k≤a
当然我们也可以把这个式子
写的更明白一点
那就是
给出 l 所受到的限制
显然它就成为 l≤ka
而这就意味着
只有对那些
l≤ka 的角动量的值
才有显著的散射发生
所以我们从这样的一个分析
知道一个很重要的一个条件
那就是
为了使这个式子
能够得到满足
我们希望 ka 比较小
或者分别地来说
k 和 a 都比较小
所谓的 a 小
就是相互作用的力程很短
我们称之为短程相互作用
所谓的 k 小
实际上
就是入射粒子的能量小
所以为了使分波展开
只需要考虑比较少的项数
我们希望这是一个
短程低能的期射
最极端的情况是 ka<<1
那么在这种时候
就只剩下了一个分波
需要考虑
那就是 l=0
以前我们介绍过
所谓的 l=0 的态被称为 S 态
所以 l=0 的这种散射
被称为 S 波散射
下面我们要处理的问题
就只考虑 S 波散射
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
