当前课程知识点：量子力学（下） > 第十一章 微扰论 > § 11.3 量子跃迁的微扰论 > 11.3.3 简谐微扰和共振跃迁
在这一小节中
我们讨论一个特殊的
含时微扰问题
也就是所谓的简谐微扰
或者被称为周期微扰的问题
以及在原子或者分子光谱中
非常重要的
共振跃迁的物理现象
在所谓的简谐扰动下
与时间有关的
微扰哈密顿量 H'(t)
就可以写成
一个与时间无关的算符 F̂
再乘上 sinωt 的形式
所以 H' 的矩阵元
也有类似的时间依赖关系
也就是
H' 的矩阵元
它可以写成
算符 F̂ 的矩阵元
再乘上 sinωt 的形式
而算符 F̂ 的矩阵元
具体地写出来它就是
H0 的某一个本征态
ϕm 的复共轭乘上
F̂ 作用在 ϕn 对全空间的积分
或者用狄拉克记号
就是写成这样一个
简明的形式
其中算符 F̂ 的矩阵元
是和时间无关的
将这样的
含时微扰哈密顿量的
具体形式
代入到
前面的跃迁振幅的公式中
我们就可以得到
从 k 态到 k′ 态的
跃适振幅
可以写成
下面这样一个表达式
在计算跃迁振幅的过程中
首先我们注意到
算符 F̂ 的矩阵元
是和时间无关的
可以从积分号中提出来
然后我们再注意到
sinωt′ 可以写成 1/2i
eiωt′ 减掉
e-iωt′ 的形式
然后再将这个括号中的
两个指数函数分别乘上
括号外的那个 e 指数函数
那么我们就得到
这两个不同的
e 指数函数的积分
而这个 e 指数函数的积分
是很容易完成的
再代入积分的上下限 t 和 0
于是我们就可以得到
从 k 态到 k′ 态的
跃迁振幅的最后的结果
有了从 k 态到 k′ 态的
跃迁振幅
那么相应的跃迁几率
就是这个跃迁振幅的模平方
在这里我们利用到
一个复数的模平方
实际上就是这个复数
再乘上它的复共轭
再把这两个括号中的两项
分别乘出来
经过化简我们就可以得到
从 k 态到 k′ 态的跃迁几率的
这个表达式
在这里我们只考虑
时间间隔 t 足够长的情况
那么我们可以利用前面
我们在讲 δ 函数时的一个
非常有用的公式
也就是可以将 δ 函数写成
含参数的函数的极限的形式
具体地说
就是这样一个
含参数的函数的极限
这个函数是 (1-cosxt)/(x2t)
当参数 t→+∞ 的时候
它就等于 π 乘上δ函数 δ(x)
那么我们发现
在时间 t 充分大的时候
从 k 态到 k′ 态的跃迁几率
就可以趋近于
这样一个表达式
在这里
刚才跃迁几率的公式中
括号中的头两项
就分别趋向于这两个 δ 函数
这两个 δ 函数分别是 δ（ω + ωk′k）
以及
δ（ω – ωk′k）
而和这两个 δ 函数相比
刚才那个括号中的
第三项就可以略去了
另外我们还注意到
从 k 态到 k′ 态的跃迁几率
与时间 t 成正比
这就导致了
有关简谐扰动所引起的
量子跃迁的
下面几个的重要的特征
第一个重要特征是
在量子跃迁几率的表达式中
出现了两个 δ 函数
这意味着
当 ωk′k 等于正负
外界扰动的频率 ω 的时候
这时候的跃迁几率
显著不为 0
而其它的也就是
不满足这个条件的
量子跃迁都可以忽略不计
这种情况我们把它称为
共振跃迁
我们再回忆 ωk′k
实际上就是跃迁前后的
两个能级的能量差
再除上普朗克常数 ℏ
那么
上面的这个共振跃迁的条件
也就转化为
Ek′ - Ek = ±ℏω
而我们将
Ek′ = Ek + ω 时候的共振跃迁
称为共振吸收
而将
Ek′ = Ek – ω 时的共振跃迁
称为共振发射
原子或者分子
对光的共振吸收
形成它的特征暗线光谱
而共振发射就形成了
它的特征明线光谱
另外
核磁共振也是共振跃迁的
一个典型的例子
但是
在跃迁几率的这个表达式中
δ 函数的出现
给了跃迁几率的计算
带来了新的问题
这也就是 ω 或者
ωk′k
必须是准连续变化的
有关这个问题
我们在下面的讨论中
做进一步的处理
有关量子跃迁的
第二个特征是
跃迁过程发生的
微观时间尺度
也就是所谓的量子尺度
是非常短暂的
而和这个尺度相比
宏观的时间间隔
总是非常之长
所以在实际的实验观测中
t 充分大这个条件
总是可以得到满足的
从上面的这个
跃迁几率的表达式
我们可以看到
跃迁几率还与时间 t 成正比
也就是
所谓的跃迁速率是一个常数
我们将跃迁速率记为 λ
右下标从 k 态到 k′ 态
它是一个常数
跃迁速率是常数
也就导致了
比如说
在原子核的
放射性衰变中的指数定律
具体地来说
假设在初始时刻
t=0 的时刻
我们有 N0 个母核
它可以通过某种方式
衰变成为子核
因而母核的数目 N(t)
是随时间减少的
根据前面的跃迁速率的定义
那么我们就有
母核的数目 N(t) 对 t 的导数
再乘上母核数目 1/ N(t)
它是一个常数
我们将这个常数记为 -λ
而 λ 大于0
在这里被称为衰变常数
那么把这个方程积分
就可以得到
母核的数目 N(t) 等于
初始时刻的
母核的数目 N0 乘上
e-λt
这种母核数目
随着时间成指数衰减的规律
已经被实验观测所证实
而对于
原子或者分子的发光过程
跃迁速率等于常数
保证了发光强度的稳定性
因而光谱的测量
就成为了可能
而有关量子跃迁的
第三个特征是
由于跃迁几率
正比于算符 F
在 k′ 态和 k 态下的
矩阵元的模平方
而算符 F 的模平方
当 k′ 态和 k 态
交换位置的时候
它就等于 Fkk′ 的模平方
所以在初态 ϕk 和末态 ϕk'
交换位置的时候
跃迁几率是不改变的
也就是
从 k 态到 k′ 态的跃迁几率
等于从 k′ 态到 k 态的
跃迁几率
这条规律被称为
细致平衡原理
这条原理在统计力学里
有着重要的应用
在我们前面的讨论中
为了说明共振跃迁的
主要物理特征
我们在应用数学公式上
是不够严格的
所以无法理解
在跃迁速率的公式中
出现的这两个 δ 函数的
准确的物理含义
为了更加明确地说明
跃迁速率的物理意义
更确切地
我们要用下面这个
更为精确的数学公式
在这里仍然是一个
含参数的积分
在 t→+∞ 时的级限
这个含参数的积分是
(1-cosxt)/x2
再乘上一个函数 f(x)
对 x 从 -∞ 到 +∞ 积分
然后再乘上 1/(πt)
取 t→+∞ 的极限
它等于什么呢
就等于这个函数 f(x)
取 x=0 这一点的值
然后我们再来考虑
这样一个具体的跃迁过程
也就是
从 ϕk 到 ϕk′ 的量子跃迁
它的初态 ϕk 是在离散谱中
而末态 ϕk' 是在准连续谱中
并且末态的能量较高
也就是 Ek′ > Ek
或者是 ωk′k > 0
并且我们引入一个物理量
末态在 Ek' 能量附近
能量间隔从 Ek′ 到 Ek′ + dEk' 的
状态数我们将它记为
g(Ek′) dEk′
这里函数
g(Ek′) 被称为态密度函数
那么实际从 ϕk' → ϕk 的
量子跃迁的跃迁速率
就是在 Ek′ 附近的
一系列末态的
跃迁几率的和
也就是
可以换成下面一个积分的
极限的行为
在这个积分的被积函数中
分子上是从 k 态到 k′ 态的
跃迁几率除上时间 t
乘上态密度函数
g(Ek′), 对 Ek′ 积分
然后再令 t→+∞
考虑到我们刚才所说的
具体的跃迁过程
在利用从 k 态到 k′ 态的
跃迁几率的公式
并且还要利用
我们刚才所提到的
那个准确的数学公式
最后从 k 态到 k′ 态的
跃迁速率
就等于 π/2ℏ
乘上算符 F
在 k′ 态和 k 态下的
矩阵元的模平方
再乘上态密度函数 g(Ek′)
这个跃迁速率的表达式
被称为费米黄金规则
在这个跃迁速率的表达式中
算符 F 的矩阵元
以及态密度 g(Ek′)
都是完全确定和有限的
因此跃迁速率不再包含
任何无穷大的项
同时
这个表达式也告诉我们
跃迁速率还依赖于
末态 Ek′ 处的态密度
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
