12.1.1 散射截面的实验定义在线视频

现在我们开始讲第十二章

散射理论

散射问题在量子力学里边

是一个相对比较独立的问题

首先来介绍一下

什么是散射实验

和从实验当中

如何定义一个量

称之为散射截面

首先我们来解释一下

散射这个名词

也许对于同学们而言

碰撞是大家以前

更经常听到的一个说法

实际上在量子力学里边

散射和碰撞

大体上是相同的含义

我们在第二章里

曾经指出

量子系统的状态

主要的是分成两类

一类称之于束缚态

它的特点是

波函数在无穷远的地方

趋近于零

对于束缚态而言

它的能级是分立的

是需要我们把它们求出来的

束缚态的波函数

可以在无穷大的空间里边

有限的归一

而另一类是非束缚态

这些态的波函数

在无穷远的地方

并不趋近于0

而它的能级是连续的

它们的波函数

不能在无限大的空间里边

有限的归一

对于前一种状态

也就是束缚态

量子力学的基本问题

是求出允许的能量值

称之为能级

同时解出

这些状态下的波函数

这就是我们在前面的

大部分章节当中

所研究的问题

而对于后一种状态

能量是可以

在一定的范围内

任意的给定的

不需要特别的求出

所以问题就变为求

跃迁几率 散射几率等等

这是和束缚态问题不同的

另一类问题

我们这一章的目标

就是处理三维空间里的

散射问题

所以

现在我们就来研究一下

碰撞问题的特点

在粒子碰撞的过程当中

开始的时候

有两个自由的粒子

经过它们的相互作用

最后可能出现两个

也可能出现更多个

自由的粒子

关键在于

这样的相互作用

使得原先的粒子的

动量 方向和大小

都发生了变化

甚至于在有些情况下

还伴随着它们的

内部能量状态的改变

还有的时候

产生了新的粒子

所以从实验的角度看来

碰撞的过程

基本上可以分成两大类

就是弹性碰撞和非弹性碰撞

如果在碰撞的过程中

粒子只有动量和动能的改变

它们的内部状态

没有变化

也没有新的粒子产生

这样的碰撞

就叫做弹性碰撞

否则的话

任何其他状况的出现

都称之为非弹性碰撞

我们这门课只处理弹性碰撞

这一类碰撞

又被称之为势散射

它的基本假设是

两个粒子之间的相互作用

用一个势能来描写

这个势能是两个粒子的

坐标差的函数

由于在碰撞过程当中的

初始时候

两个粒子相距得非常遥远

我们总是假设

这样的势能

在r₁和r₂距离非常远的时候

是趋近于零的

换句话说

那时候这两个粒子

并没有相互作用

就是这样的一个

无穷远的渐近形式

然后我们来研究一下

实验是如何进行碰撞研究的

在实验上

通常是这样来安排的

那就是把一个粒子

经过某种过程

达到一定的动能

射向另外一个粒子

而那个粒子是静止不动的

就是这样的一种情形

这个粒子经过某种加速

达到了一定的动量

这个粒子是不动的

通常来说

这个动的粒子称之为子弹

这个不动的粒子称之为靶子

那么由于子弹和靶子之间的

相互作用

它们就会发生碰触

也就是散射

于是

子弹粒子就改变了自己的

运动方向和动能

如果我们画一个图

就是这样的一个情形

这边是入射粒子进来的方向

它具有确定的动量和动能

这里就是靶粒子

在初始的时候

假设它是不动的

那么

由于二者之间的相互作用

这个子弹粒子

就会改变自己的

运动方向和动能

沿着一个新的方向射出去

这就是散射过程的基本模式

那么我们的问题是什么呢

我们应该在

不同的方向上去安排

子弹粒子的探测器

看一看在这个指定的方向上

有多大的几率会发生散射

我们回到上一页这个图

这里可以认为就是一个

探测器的敏感区域

粒子一旦进入这个区域

就被探测器所记录

通常我们把入射的方向

选作z轴

所以初射粒子的方向

也就是散射方向

就可以由

球坐标里的角度θ和φ

来描写

而散射几率是(θ,φ)的函数

在这种情况下(θ,φ)

就被称为散射角

那么我们要问

用一个什么样的量

来描写这个散射几率呢

在实验上

都是用一个入射的粒子流

轰击一块靶物质

因此我们首先来定义一下

入射粒子流的强度

我们称之为流密度

记作Φ

它的定义就是

垂直于粒子运动方向上的

单位面积上的单位时间内

穿过的粒子数

所以Φ这个量的量纲

就是面积乘以时间的倒数

然后我们来看靶物质

假设靶物质里边

一共有N个靶粒子

这N个靶粒子

就形成了N个散射中心

再次我们来看探测器

已经假设了

探测器放在(θ,φ)的

这个方向上

同时我们还要描写一下

这个探测器的大小

这是用探测器的敏感体积

相对于散射中心

张成的立体角元来描写的

我们把这个立体角元

记作dΩ

然后就是

在这个实验的过程中

粒子在这个角度上

进入这个探测器的多与少

而这就代表在这个方向上

发生散射的几率

由于Φ是按照

单位时间穿过的数目

来定义的

因此

对于探测器接收到的粒子数

也是按照单位时间来计算的

我们把探测器在单位时间内

测得的散射粒子的数目

记作dn

由于我们现在讲的是

单位时间内的数目

因此这个量称为计数率

很显然

这个量的量纲是时间的倒数

好

有了这样一些

实验的设置条件和测量结果

我们很容易发觉

这样的一个基本的正比关系

那就是

单位时间内

进入探测器的粒子的数目

也就是这个dn

应该正比于第一个因素是

总共有多少个散射中心

第二个因素是

在单位时间内单位面积里

有多少个粒子射进来

也就是这个Φ

而第三个因素就是

探测器的敏感体积

相对于散射中心

所张的立体角

也就是说

dn应该和NΦdΩ

这三个量的乘积成正比

因此

我们可以把这个比例系数

看作是在这个方向上

发生散射的几率

这个比例系数

通常记为σ

它是θ和φ的函数

也就是说

现在我们有一个这样的等式

dn等于σ

乘以N乘以Φ乘以dΩ

换句话说σ

是一个这样的比值

分子上是dn

探测器的计数率

分母上是NΦdΩ

分别代表了

靶的特征

入射流的特征

和探测器的特征

我们来分析一下σ

这个量的量纲

它的分子是dn

量纲是时间的倒数

分母上

只有Φ是带有量纲的

N和dΩ都是无量纲量

而Φ的量纲

是面积乘以时间的倒数

这样一比

出来的最终的量纲

是一个面积

所以σ这个量

被称之为微分散射截面

这里的微分的意义是

在一个给定的θ φ方向上的

一个小立体角元

如果我们把这个量

对整个的4π立体角积分出来

我们就包含了

在任意方向上

出射的粒子的可能性

这样的一个积分的结果

被称之为总散射截面

但是仍然要记得

这个量还是有面积的量纲

我们上面所讲的

都是实验处理公式

因为dn 大N Φ和dΩ

要么是实验安排的

要么是测量的结果

所以这里定义的σ

是一种实验测出量

需要解释的是

在很多情况下

靶粒子比子弹粒子重得多

比如说

靶粒子是一个原子

而子弹粒子是一个电子

所以在最初的近似之下

认为靶粒子是不动的

事实上

即使这个条件不被满足

我们仍然可以转到

质心系去观察

这个时候仍然可以认为

子弹粒子是在一个固定的

散射中心的作用下

发生的散射