8.1.2 算符的矩阵表示在线视频

上面我们讲的是

态在矩阵情况下的一种

表示方法

在量子力学里边

还有另外一个对象

就是算符

因此

现在我们要回答这样的问题

在矩阵形式之下

算符怎么来表示呢

首先我们回忆一下

在坐标表象里的算符

是什么样子

那么在坐标表象里

一个算符例如 F̂

一般而言

表达成为坐标 x

和动量 p 的函数

这里的动量不是一个数

而是一个算符

就是 -iℏ∂_x

那么

这个东西是一个算符

究竟是什么含义呢

它的意思就是

用它去作用一个任意的波函数

都生成一个新的波函数

而这个新的波函数的样子

由这个算符所完全决定

也就是说

是这样一个等式

F̂ 作为 x 和动量算符的函数

作用于 ψ(x)

给出一个完全确定的

新的波函数 ϕ(x)

好 现在我们第一步

根据已经知道的

那个方法和结论

把这个等式两端的波函数

都变换到一个离散的表象

比如 Q̂ 表象里边

那么大家知道

这就是

把 ψ(x) 展开成为

Q̂ 的本征函数系的

线性组合

ϕ(x) 也做这样的展开

为了简单起见

我们这里没有写时间变量

所以

这里边的系数

a_n 和 b_n 都是纯数字

然后我们又把

这样的展开式

代入到刚才一个算符

作用于 ψ 得到 ϕ 的那个等式

注意 F̂ 作为算符

当然会作用于本征函数 u

但是 a 只是常数

所以说 F̂ 是对它没有作用的

也就是说

你可以直接把这个 F̂

从这边跳过 a 而移到 u 的左边

那么这个等式的左边

就是把 ϕ 照写下来

然后我们在这个式子上

两端都左乘以

某一个本征函数的复共轭

并且做积分

这里要解释一下

这个式子里边

对于指标的约定

在这个式子里边

这个 n 是要被求和的

在教科书里边有一个名称

把它叫做哑标

意思就是说这个式子

其实是和 n 的取值

没有关系的

那么这个 m 是什么意思呢

那就是一个

独立选择的指标

好

当我们做了这样的乘法

和积分之后

很显然这就变成了

左边是 u_m 的复共轭

乘以 u_n 之后

对 x 积分

右边的就要注意了

这个 u_m^*

必须保留在

F̂ 这个算符的左边

意思是说

F̂ 只作用于 u_n

而并不作用于 u_m^*

然后再积分

这样的积分可以重新用

内积的这个表达式

重写一下

那就是

这个积分是 u_m 和 u_n 的内积

这个积分是

u_m 作为这个内积符号的

左边的因子

而 F̂ 作用于u_n

是这个内积符号的

右边的那个因子

然后利用一下

这个本征函数系的

正交归一性

你就发觉

这样的一个内积

实际上就是

当 m=n 的时候它是 1

当 m≠n 的时候

它是 0

这就是 δ 符号

而这个求和

是对 n 的求和

所以

只有当 n 正好等于 m 的时候

这项才不等于 0

并且成为 b_m

其它的各项都是 0

于是这样的一个等式

就变成了

左边成为单一的 b_m

右边是这样的一个求和

我们写这个格式

和刚才那个格式

只不过把这两个因子

互相调换了一下次序

原因是现在它们都是

简单的数字而已

这里再一次提醒大家注意

n 是哑标

是要求和求掉的

这个式子

实际上和 n 没有关系

和它有关系的那个指标

是 m

左边这个 m

是和右边的这个 m 相同的

我们在这里发现了一个

这样的一个内积

它和 F̂ 有关

和 u 作为本征函数有关

并且依赖于两个指标

这里一个 m

这里一个 n

但是最终而言

它是一个数字

我们就用一个新的符号

F_mn

来记这个内积

注意

它是一个

和两个指标有关的数字

那么这个式子

就可以重新写成

一个这样的一个等式

左边是 b

右下角的指标是 m

右边是一个求和

被求和的指标是 n

求和的项是 F_mn a_n

而这样的一个式子

很容易把它重新写成一个

矩阵的形式

那就是

所有的 b

在等式的左边

排成一个单列的列矩阵

右边 a 也可以排成一个

单列的列矩阵

而 F

由于它依赖于两个指标

应该排列成为一个方矩阵

右边的这两个矩阵

并排着写

意味着做乘法

而矩阵的乘法

满足行乘以列的规则

因此我们可以得到

一系列的等式

比如说 b₁

它应当等于

F₁₁ a₁ + F₁₂ a₂

等等等

b₂ 也是一个类似的一个乘法

再求和的一个式子

这正好就是刚才

所写的那个式子

所以

假如我们想记得更简单一点

那就是

把这样的一个方矩阵

用一个符号 F 来代表

而前面我们已经

对于这两个列矩阵

引入了态矢量的符号

所以这个方程

就简单的成为

这样的一个等式

ϕ = Fψ

而这个右方的乘法

要理解为矩阵的乘法

这就表明如果我们

变换到离散的表象里边的话

一个算符

是应该用一个矩阵来代表的

这里加了一个括号

方字

那是因为一般而言

一个矩阵的行数和列数

有可能不一样

但是我们在量子力学里

所用到的矩阵

总是行数等于列数的方矩阵

我们已经说过

代表力学量的算符

应该是厄密的算符

而现在我们的算符

用一个矩阵来表达了

那么这种厄密性

在矩阵形式里边

是一个什么样的表现呢

让我们来考察

一个挑选出来的矩阵元的

复共轭

比如说就是这里的

F_mn 的复共轭

这个 F_mn 就是

这样的一个内积

现在我们要取这个内积的

复共轭

大家知道

这个内积实际上

就是一个积分

在这个积分里边

被积分的

一个是 F̂ 作用于用 u_n

另外一个是 u_m 的复共轭

整个这个积分取复共轭

很显然 u_m 的复共轭

再取复共轭

就变成了没有复共轭

于是它就变成了

这个内积的

一个右的因子

而原来的这个 F̂ 作用于 u_n

是没有复共轭的

取了复共轭之后

它就变成了

一个新的内积的左因子

所以说

这样的一个

内积符号的复共轭

正好就是把这两个因子

交换一下位置

下面我们就再利用一下

F̂ 这个算符的厄密性

那么大家知道

如果 F̂ 是一个厄米算符的话

它就应该可以自由地

从作用于左因子

转为作用于右因子

这就是厄密算符的特点

于是这个内积

又等于这个内积

而这个内积马上就提醒我们

它其实也是 F̂ 这个算符的

一个矩阵元

只不过右下角的指标

现在变成了 n 在左边

m 在右边

也就是 F_nm

好

我们再从这个式子的最左方

就是 F_mn

取复共轭

走到最右方

是 F_nm

这两个量是相等的

而这样的一个

叫做行列交换

并且取复共轭的操作

就称之为

厄密共轭操作

它的符号就是

一个矩阵的右上角

加一个 †(dagger)

这个符号

这个运算写成

矩阵元的关系就是

叫做复共轭加转置

而在线性代数里边

这个所谓的 F^†

也就称为

矩阵 F 的厄密共轭

这个名词其实是和我们

在量子力学里的名词

是完全一样的

那么

满足这个条件的这种矩阵

就叫做自厄密共轭矩阵

也就是厄密矩阵

因此我们在

量子力学的矩阵形式里边

可以说

物理量的矩阵表示

应该是一个厄密矩阵

下面我们对于

算符的矩阵表示的

某些特殊情形和它的意义

再做一些进一步的研究

第一个我们可以

提出一个问题

前面我们介绍

构造一个离散表象的时候

说我们应该

先选择一个算符 Q̂

找出这个算符的全部本征值

和本征函数

然后再写出

在这个表象里边的

各种矩阵

那么我们就可以问

假如我们的目的是

把某一个力学量 F̂

变成它的矩阵表示

而同时

我们又把这个 F̂ 选为

构造这个表象的那个算符

也就是原来的那个 Q̂

结果会如何呢

这就是我们在这里

提的这个问题

叫做一个算符

在其自身的表象中

是一个什么矩阵

其实对这个问题的答案

蛮容易想得到的

那就是

第一

由于现在你拿来

构造表象的

那些本征函数

就是你这个算符的

本征函数

因此

算符作用在这个本征函数上

它得到的就是

对应的本征值

乘以同样的函数

而为了构造

这个矩阵的元素

你要把另外一个本征函数

再乘上来

构成内积

由于这些本征函数

是彼此正交的

所以说

只有当你拿来

同样的本征函数

构造内积的时候

这个矩阵元才不等于 0

那么

这样的矩阵元

出现在什么位置上呢

很显然就是

行数等于列数的

那些位置

我们称之为对角位置

所以说我们的结论是

一个算符

在它的自身的

表象里的那个矩阵

是对角矩阵

也就是说

只有对角元素

是不等于 0 的

所有的非对角元素都等于 0

而这些对角元素

也就是这个算符的

各个本征值

这就是一个算符

在它自身表象中的

矩阵表示的特点

第二

我们经常会用到一个算符

叫做恒等算符

也称之为单位算符

通常记作 I

它的意义就是

这个算符

作用于任何波函数

都给出这个波函数自己

那么很显然

这样的算符

在任何的一个离散表象

或者说矩阵表象里边

它所对应的矩阵

都是单位矩阵

也就是说

所有的对角元素都是 1

而所有的非对角元素

都是 0