当前课程知识点：量子力学（下） > 第九章 本征值问题的代数方法 > § 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法 > 9.1.2 坐标表象中的波函数
在刚才的那个小节里边
我们一开始就强调
没有放到任何一个
表象的形式之下
只是在
狄拉克符号的体系里
来研究问题
那么在这个小节
我们就具体地来研究
坐标表象里
这一套形式的一种反映
而它的结果
就可以和我们
前面所研究的
波函数的结果加以对照
好
如果是我们把它放到
坐标表象里的话
那么 x 的算符
就是 x 的实变量
而 p̂ 这个算符
是 -iℏ
乘以对 x 的微分算符
由于这里的 x 和 p
是带有量纲的
为了
方便地利用数学里边的
无量纲的这些变量
我们稍微做一下量纲调整
那就是在 x 前边
乘上一个这个系数
它的结果
记作 ζ
这是一个无量纲的变量
而这个系数
√mω/ℏ
经常地记作 α
有了一个这样的变量变换
我们就发觉
â, 叫做降级算符
实际上可以用 ζ
以及对 ζ 的
微分运算来表达
这里要注意
当我原来用 x̂ 和 p̂
来构成 â 这个算符的时候
p̂ 的前面
是乘了一个虚数单位的
而现在 p̂ 在坐标表象里的
表达
正好也有一个虚数单位
这两个虚数单位乘起来
就使得
对 ζ 的微分算符前边
并不出现虚数
于是这就只包含了 ζ
和 ζ 的导数运算
完全类似地
我们也可以写下
↠的一个表达式
你发觉
它也包含了 ζ
和对 ζ 的微分运算
最大的区别在于
这个微分算符的前面是正号
而这个微分算符的前面
是负号
对于这二者的比较
我们可以有这样的理解
前面已经说了
这个算符是这个算符的
厄密共轭
当然也就意味着
它是它的厄密共轭
它是它的厄密共轭
这两项之间成为厄密共轭
很容易理解
因为 ζ 是一个实变量
而这两个
彼此是厄密共轭的关系
稍微有一点点让人难以理解
因为 ζ 本身是实变量
那么就要这样来考虑
作为微分算符的
厄密共轭的定义要回到原来
用积分形式所做的那个定义
其中需要有一步是用
分部积分
这个分部积分就使得
微分运算
添了一个负号
好
下面我们就具体地进入
坐标表象
这个态是基态的符号
当然它在坐标表象里
就应该有一个波函数
来代表
我们就把它记作 ψ
右下角加一个 0
表示它的 n 的本征值是 0
而它应该是 ζ 的一个复函数
那么我们回忆一下
所谓的基态
是什么意思呢
在刚才的阶梯算符的
这个形式之下
基态意味着
被降级算符作用结果得 0
因而把刚才的那个式子
体现为
这个波函数满足的方程
也就是
â 这个降级算符
作用于这个波函数,等于0
而现在的这个降级算符 â
被表达成为
这样的一个对 ζ 的
乘法和微分运算的一个组合
而这个基态波函数
ψ0(ζ) 应该满足
被这个算符作用之后等于 0
而这是一个
关于 ζ 这个函数的
一阶常微分方程
它就很容易求解的
一次积分就可以得到
我们发觉它的结果是
ψ0(ζ)
函数形式这样的一个函数
e-ζ2/2
由于这是一个线性方程
所以说
还允许乘上一个
积分常数因子
而从函数归一化的角度来说
这个常数因子
实际上是一个归一化常数
它的选择
应该通过
归一化条件来决定
当然要提醒一下呢
ζ 仅仅是为了
求这个方程比较方便
而引入的一个坐标变量
波函数本身的归一化
是应该在 x 的整个轴上
做积分的
这里边略微有一个
常数因子的差别
把这个形式
代入这个归一化条件之后
就可以求出这个 N0
它的结果是
√(α/√π)
而这个 α
正是我们刚才
定义那个
无量纲变量 ζ 的时候
乘在 x 变量前面的
那个常数
于是最后
我们就得到了
基态波函数归一化之后的
这个形式
如果我们回忆
ζ 和 x 之间的一个变换
那么很容易发觉
这样求出的基态波函数
和我们在第三章里边
用求解常微分方程的办法
所得到的
谐振子的基态波函数
是完全一样的
这里我们还可以再往前走
因为我们已经引入了
升级算符
前面的已经给出了
从基态得到
所有其它各个状态的那个
普遍公式
那就是
量子数为 n 的那个态
是用升级算符
在基态上
作用 n 次
但是前面要乘一个系数
就是 1/√n!
现在我们已经把 â†
用 ζ 以及对 ζ 的
微分的这样的一个表达式
写出来了
而且 ψ0(ζ) 也已经有了
因此
把这样的一个升级算符
产生其它各阶波函数的
表达式代进来
就可以把第 n 个本征函数
写成为这样的一个表达式
这个表达式看起来
和我们
在第三章里边得到的结果
不太一样
我们把
第三章里边得到的波函数
重新写一遍的话
是这样的一个表达式
我们发觉
和刚才的那个表达式相比
这个因子是一样的
但是原来我们这里的表达式
有一个厄密多项式
然后乘上这样的一个函数
其中这个厄密多项式的
所谓的微分表达式
是这个
如果我们也把
刚才的那个表达式
类似地写出来的话
那么
刚刚写下这个表达式
在这个位置里出现的
却是这样的一个式子
我这里呢暂时把它记作
H 顶上加一个弯弯符号
因此
现在得到的表达式
和第三章的表达式的差别
无非就是
用这个表达式
去替换了这个表达式
也就是说
按照我们现在的
算符代数的做法
等于说
对于这个厄密多项式
我们又出现了一个
这样的一个
新的计算方法
其实我们可以证明
刚才写下的 H
所谓的第 n 阶厄密多项式
和另外一个 H 弯弯
实际上是完全一样的
这是一个恒等的表达式
对于这样的结果
同学们不妨把它当作一个
练习题
好
现在呢我们来总结一下
阶梯算符方法的优越性
第一
从我们的第一个小节的过程
同学们可以发现
这个方法
不需要利用任何表象
就可以得到
关于能谱的确定的结论
需要利用的
只是狄拉克符号体系的
一系列的公理
而从刚才我们所讲的
第二小节的内容
我们发觉
如果需要知道
坐标表象里的
具体的波函数的形式的话
也只需要求解一个
一阶微分方程
那就是
â 降级算符
作用于基态波函数
等于 0
这是一个很容易积分的
一个微分方程
而不像我们
前面的那个方法那样
要解一个二阶微分方程
随后需要做的事情
也只不过是
把那个基态波函数
一次一次的进行升级
而这个升级的过程
也只不过牵涉到
一阶微分
这些优越性
就使得阶梯算符方法
有非常广泛的应用
这些应用阶梯算符方法的
其它问题
我们不再进行更多的介绍
只是告诉大家一个新的名词
叫做超对称量子力学
事实上
超对称量子力学
就是这种阶梯算符方法的
进一步发展
而这种方法
是解决许多量子力学问题的
有力的工具
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
