*13.3.2 按瞬时本征态展开在线视频

下面我们介绍一个

完全相反的情况下的近似

那就是

Hamiltonian量随时间的变化

非常缓慢

对于这样的近似

我们不得不一步一步的

来加以处理

首先引入一个概念

叫做按瞬时本征态作展开

现在我们仍然要假设

系统的Hamiltonian量

是随时间而变化的

那么

我们就可以写下一个

这样的方程

这个方程称之为

瞬时本征方程

因为

H是和时间有关的

它的本征态

自然也是和时间有关的

它的能量本征值

也是和时间有关的

但是一定要注意

在这个方程里边

时间是当做参量来看待的

换句话说

我们H可能包含

对空间坐标的微分

但是对时间变量而言

我们把它看作是常数

因此

我们对于这样的一些量

分别冠以瞬时这样的名词

把它叫做瞬时能量本征态

而把它叫做瞬时能量本征值

大家知道

这样的方程解出来的

能量本征态

其实是允许包含

任意的位相因子的

由于时间在整个这个问题当中

起的是一个参量的作用

因此

在原则上说

这样的一个任意的时间因子

也允许是和时间有关的

然而它没有办法

从方程来决定

这件事情以后

我们还会做进一步的考虑

好 假设

我们已经把这个问题解决了

那么我们就可以利用

这个瞬时本征态集

来做很多事情了

因为通常我们可以假定

这个瞬时本征态集

是正交归一的和完备的

所以

任何随时间演化的量子态

也都可以写成为

这个瞬时本征态集的

线性组合

就是一个这样的表达式

任何一个和时间有关的状态

是这样的一个线性组合

这里的m用来表征

区分各个不同本征态的那个

量子数组

在这个态前边

还有一个这样的因子

它是和这个态的

瞬时本征能量有关的

但是注意

这是一个积分

因为它是随时间而变的

当然

所有的这些东西

都是在解了瞬时本征方程之后

都可以完全知道的

因此

和这个任意态有关的

实际上

由这样的一个系数来表达

当然这个系数

也原则上是和时间有关的

我们可以把

这样的一个表达式

代入含时间的

Schrodinger方程

那么我们发觉

结果是一个这样的方程

我们来看一看

它究竟是由哪些部分构成的

这一项仍然要对

全体本征态求和

其中包含了系数a_m的

对时间的导数

而这一项包含的却是

a_m不对时间求导

这个态对时间求导

注意

这里是一个简化了的记号

它实际上的意思是

态对时间的偏导数

为了导出这个方程

要注意m(t)

是满足瞬时本征方程的

那个本征函数

为了更具体的得到

这个系数所满足的方程

我们就选择一个

另外的本征态

我把它记作n(t)

左乘上这个方程

也就是说求

这个态和那个态的内积

那么就导出了这个系数

所满足的方程

当然它也是一个微分方程

我们来看一看

它的左边是

你所选择的第n个

态的系数的时间导数

右边第一项

是这个系数自己

然而乘上这样的一个内积

就是第n个态的

时间导数和它自己的内积

然后是一项很复杂的和式

这个和式里边的m

不再取作n

其中包含了

m对时间的导数

与n这个态的内积

以及前面的这个时间因子

还有a这个系数

当然为了完整的得到

此后这个态随时间的变化

我们还要给上

这个系数的初始条件

刚才这是一个微分方程

我们也可以把它

化成积分方程的形式

就是把这个方程的两端

都对时间t作积分

那么刚才我们这个方程

的这一项对时间的积分

自然就给出了

a在t时刻的值

减去它在0时刻的值

而这项就变成一个积分

最复杂的是这一项

因为这里出现了一个指数函数

而这个指数函数上面

又是一个关于E的一个积分

那么为了把这个也化成一种

积分方程的形式

我们要把它作泰勒展开

略去这些具体的细节

我们发觉

关于a的这样的一个积分方程

成为一个这样的形式

重要的是这项只包含a_n自己

而这一项包含了

所有的m不等于n的那些态

并且还是一个关于

阶次l的一个无穷求和

我们到目前为止的这些推导

并没有作任何近似

也就是说

并没有考虑

H随时间变化的快与慢