当前课程知识点：量子力学（下） > 第八章 量子力学的矩阵形式 > 8.3 狄拉克符号 > 8.3.2 算符及其本征方程
刚才我们介绍了
狄拉克符号体系里的
量子态的表达方法
那么就量子力学的
内容而言
另外一个很重要的对象
就是代表物理量的算符
现在我们就来介绍
在狄拉克符号里
如何来表达算符
这里由于没有
给算符以具体的形式
所以说我们不再用
顶上的这个帽子符号
来特定的指
某一个量是算符
只不过它不再放在
任何括号里边
比如说
某一个算符F
那么
所谓的算符
无非就是对态矢量作用
产生一个新的态矢量
在狄拉克符号里
这种作用直接把算符
和态矢量
并排的写下来
这就已经代表了
一种作用
它的结果
仍然是一个右矢
由于我们
在表达量子态的时候
还有一个方法是
左矢
那么
现在就规定
同样的这个算符
也可以作用于左矢
这样的作用只不过是把
态矢量
写在算符的左边
这个作用的结果
还是一个左矢
这里有一个
这样的一个符号的理解
刚才我们说
在构造内积的时候
右矢总是写在右边
左矢总是写在左边
但是
现在我写了这么个表达式
右矢写在左边了
左矢却写在右边了
这是个什么样的对象呢
你可以这样来考虑
如果我从这个式子的右边
乘上一个右矢
那么这个左矢和这个右矢
就构成了一个内积
也就是一个普通的复数
于是这个表达式
实际上只不过是这个右矢
乘上的一个数而已
它仍然是一个右矢
所以这样的式子
事实上是一个算符
我们在前面的
量子力学的内容里边
对每一个算符都定义了一个
厄密共轭的算符
我们仍然把
这个算符的厄密共轭
记作算符的符号
右上角加一个†
而在狄拉克符号的体系里边
把这个F†
如何产生的这个方式
以这种方式来定义
那就是
任意的给定两个
量子态
第一步
构造一个这样的内积
它是内积
原因是
F比如说作用于这个右矢
结果还是一个右矢
所以说
这个东西
也仍然符合内积的定义
我们看一看这个内积
它是把ψ用右矢来代表
φ用左矢来代表
中间插入这个算符F
但是
要在做好了这个内积之后
取它的复共轭
那么我们现在就定义
把这个φ
从左矢拿到右矢
把ψ从右矢拿到左矢
而中间会有一个新的算符
使这个内积
恰好等于
左边这个内积的复共轭
那么这个新的算符
就称之为原来那个算符的
厄密共轭算符
当然
由于这里的ψ
和φ是任意的给定的
这个式子就完全的决定了
如何从一个给定的算符F
得出它的厄密共轭算符
刚才我们说过
一个算符作用于右矢
结果仍然是一个右矢
现在如果我们考虑
态矢量以及算符的
厄密共轭运算的话
我们可以说
把这个式子的两端
都取厄密共轭运算
你所得到的式子是
这样的一个式子
因为它的厄密共轭
变成了一个左矢
这个厄密共轭变成了左矢
F也要变成它的厄密共轭
这里的秩序
是不可以交换的写的
就是说
这个F†
一定要写在这个左矢的右边
我们现在也可以考虑
如果有两个算符
乘起来然后再取
它的厄密共轭
那么可以证明
根据刚才的
厄密共轭算符的那个定义
这种算符乘积的
厄密共轭运算
除去
把每一个算符
都变成它自己的
厄密运算以外
还要把二者交换一下秩序
对于量子力学而言
我们考虑的算符总是代表
物理量的
前边我们说过
代表物理量的算符
应该是厄密算符
于是在狄拉克符号里
也定义了
这一类特殊的算符
那就是
一个算符就是它自己的
厄密共轭算符
这种算符可以称为
自厄密共轭算符
它的简称也就是厄密算符
很显然
如果我们把这样的内积
里边的算符取作
厄密共轭算符的话
那么刚才的
厄密共轭算符的定义是
就变成了
这样的一个内积的复共轭
等于右边的这个内积
左方和右方的区别
仅仅是ψ和?换了一个位置
而中间的F
仍然保持为它自己
当然这个式子只对于
厄密的F才是成立的
这样一来
你马上就发觉
如果
在这样的一个内积里边的
两个态矢
是同一个量子态给出的
这样一个内积
本身的复共轭
就是它自己
也就是说
这样的一个表达式
总是代表一个实数
由于我们后面将规定
这代表一个平均值
所以说这再次给出了
以前
我曾经证明过的一个定理
那就是
厄密算符的平均值
总是实的
在量子力学里边
很重要的方程
是算符的本征方程
那么很容易想见
在狄拉克符号
这个系统里边
本征方程就应该写成
这个样子
也就是
某一个算符F
作用于某一个右矢的态矢量
正好等于一个常数
乘上同样的这个态矢量
那么这个常数
就是本征值
为了表明一个特定的态矢量
满足这个方程
所以
我们在这个态矢量的右下角
把本征值
写上去作为一个表征
而这个态矢量
就是算符F的
属于这个本征值的
本征矢量
如果我们考虑
厄密算符的话
其实本征方程
也可以用左矢来表达
那就是
态矢量
一律写成左矢
算符写在这个左矢的右边
其实根据刚才所讲的
厄密共轭的运算规则
这个式子
是刚才那个右矢的
本征方程的一个推论
它和那个右矢形式的方程
实际上是等价的
刚才我们已经提到了
如果你想考虑
某一个力学量
实际上也就是一个算符
在某一个
给定的量子态上的平均值
那么
在狄拉克符号的系统里边
就是这个内积
刚才已经证明了
它是一个实数
如果F是厄密算符的话
这个等式的条件
是ψ已经做好的归一化
如果ψ没有做好归一化
那么
这个平均值公式
要稍微做一点修改
那就是把这个ψ的
自己的内积
放在分母上
去除一下
如果F是一个厄密算符的话
刚才我们已经指出
这个值永远是实的
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
