当前课程知识点：量子力学（下） > 第九章本征值问题的代数方法 > § 9.2 角动量的本征值和本征态 > 9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

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9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值在线视频

9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

下一节:9.2.4 角动量的本征态

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9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值课程教案、知识点、字幕

这一小节我们求解

角动量平方算符

和角动量算符

z 分量的本征值

在给定

角动量平方算符的本征值

也就是说在给定 η 值之下

角动量算符

z 分量的本征值

或者说 m 的可能值

一定是有界的

也就是说

它有最大值和最小值

我们把 m 的最大值

记为 j

对于 m 取这个值的本征态

就是 |η,j>

那么角动量算符 z 分量的

本征方程

就是 Ĵ_z 作用到这个本征态

|η,j> 等于它的本征值 jℏ

乘上这个本征态 |η,j>

因为 j 是 m 的最大值

因此 m 的值不可能再增加

那么上升算符

作用到这个本征态

|η,j> 上就应该等于零

所以

角动量平方算符

作用到这个本征态 |η,j> 上

我们可以代入

之前推导出来的

角动量平方算符的分解式

第一项

Ĵ_-Ĵ₊ 作用到这个本征态上

当然等于 0

因为 m 不可能再增加

Ĵ_z²

作用到这个本征态上

得到的是本征值的平方

也就是 j²ℏ² 乘上这个本征态

Ĵ_z 作用到这个本征态上

等于本征值 jℏ

乘上这个本征态

因此我们最终得到

j(j+1)ℏ²

乘上这个本征态

那么如果我们和

角动量平方算符的

本征方程进行比较

那么我们就得到

量子数 η = j(j+1)

也就是说

我们如果给定了η

我们就得到了

m 的最大值

另一方面

如果 m 的最大值是 j

那么它的最小值

一定是 -j

我们将下降算符 Ĵ_-

作用到这个本征态 |η,j> 上

那么我们得到的本征态

就是 |η,j-1>

我们如果将下降算符的平方

作用到本征态 |η,j> 上

那么我们得到的本征态

就是 |η,j-2>

以此类推

我们如果想得到本征态 |η,-j>

那么

下降算符就要作用 2j 次

因此这个 2j

一定是一个非负的整数

那么 j 本身

它就是非负的整数

或者是半整数

所以我们最后得到的结论

就是

角动量平均算符的本征值

为 j(j+1)ℏ²

其中 j 是非负的整数

或者是半整数

在角动量平方算符的本征值

给定后

角动量算符 z 分量的本征值

就是 mℏ

其中 m 的取值范围

是从它的最大值 j

以公差为 -1

递减至它的最小值 -j

以后它们的同时本征态

就记为 |j,m>

那么

|j,m> 也是狄拉克符号下的

表示形式

同时本征态

满足以下的本征方程

即角动量平方算符

作用在这个本征态上

等于它的本征值

j(j+1)ℏ²

乘上这个本征态 |j,m>

角动量算符 z 分量

作用到这个本征态上

等于它的本征值 mℏ

乘上本征态 |j,m>

我们发现从前面的章节

即第四章第四节

通过求解微分方程的方法

得到的

轨道角动量的本征值系列中

量子数 j 是非负的整数

也就是说

这个本征值系列

是包括在

一般角动量的

本征值系列之中的

另外

一般角动量的本征值系列中

也包括了

另外的角动量本征值

即量子数 j 可以取半整数

以后我们将会看到

电子的自旋角动量

就是 j = 1/2 的情形

所以上面的分析

导致了普遍的结论

量子力学（下）课程列表：

第八章量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换量子力学的幺正不变性

-第八章量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

-第九章本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数矩阵算符

-第十章电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动

--第十章电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态贝尔基

-第十章电子自旋--第七周的作业

第十一章微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章微扰论--第十周的作业

第十二章散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章散射理论--第13周的作业

第十三章其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子共价键

--第十三章其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位几何相位

9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值笔记与讨论

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