11.4.1 长波近似和电偶极跃迁在线视频

现在我们就利用

含时间微扰论的方法

来研究一下光的辐射和吸收

在这样的处理当中

我们要做一些近似

称之为长波近似

首先原子辐射光和吸收光

是很常见的现象

比如原子辐射光的时候

会产生明线光谱

而吸收光的时候

会产生暗线光谱

这是人们认识原子结构的

重要手段

如果用严格的理论方式

来处理这样的现象

我们不得不把电磁场量子化

也就是说

认为外光场是光子的流

但是

这是一个比较复杂的理论

目前不可能做仔细的介绍

下面的研究将会表明

在一定的条件下

用量子力学来处理光的

受激吸收和受激辐射

也可以得到很好的结果

下面我们就将采用

这样的方法

假设

一个原子处在电磁辐射场里

也就是被外光源所照射

在量子力学的框架下

光仍然被看作是

经典的电磁波

也就是波动的电磁场

比如说

电场随着时间和空间的变化

将表现为这样的一个波动

这是电场强度的振幅

ω 是外光的圆频率

k 是外光的波矢量

这样的一个函数

表现的是

光的相位的一个传播

当然

同时振荡的还有磁场

但是可以证明

磁场的作用

在这里是次要的

我们就不再写它了

现在我们要考虑这样的一个

尺度上的比较

那就是

一方面是光的波长

而另一方面是原子的尺度

对于可见光而言

光的波长

在400-700纳米之间

而原子的尺度

大约是0.1个纳米

这就表明

事实上原子的尺度

比光的波长小的非常之多

假设电磁波是一个

这样的一个振荡

那么原子在其中

几乎占有非常小的部分

因此

在一个原子的尺度内看来

电磁场

实际上是各点一致的

随时间而振荡的

也就是忽略掉电场强度

在波长之内的随距离的变化

这样以来

我们所考虑的电场强度

就只和时间有关

是一个

以常数电场 E₀ 为振幅

频率为 ω 的

一个随时间的振荡

这种近似就称为

长波近似

由于电场可以通过一个

标量势做梯度而产生

所以说

另外一个方便的办法是说

在原子所在的空间内

存在着这样的

随点和时间而变的一个

标量势场

这样做的好处

是很容易写下电子的

微扰哈密顿量

那就是

用电子电荷

乘以这个标量势

就构成了一个

扰动的哈密顿量

如果

我们把 ϕ 的具体表达式

再代入进来

它就成为这样的一个算符

乘上一个时间振荡函数

我们可以把

这一部分记作 F̂

这就是 F̂ 的具体表达式

注意

它是和时间无关的

因此

这实际上就是一个

我们在前面研究过的

简谐扰动

根据我们在前边研究的结果

这样的简谐扰动

就会引起共振跃迁

而共振的条件

就是跃迁前后原子的能量差

等于频率为 ω 的光子的能量

很显然

这样的跃迁过程就表明

原子要么是吸收一个光子

要么是放出一个光子

而这个光子的能量就是 ℏω

ω 就是外光场的振荡频率

下面要具体地处理

这个跃迁几率的话

大家知道

就要计算一下跃迁矩阵元

也就是

F̂ 这个常数的

和时间无关的算符

在初态和末态之间的矩阵元

也就是

这样的一个积分

其中初态和末态的波函数

都具有这样的

分离变量的表达式

尤其要注意的是

除去径向波函数之外

角度的部分

是用球谐函数来表达的

因而波函数应该具有

下面的 nlm

三个量子数的指标

由于我们前面简化的

把态的标志写为 k

所以说

实际上这个 k 的物理含义

是包括这样的一个量子数组

这样一来

这个微扰矩阵元

就应该更具体地表达为

这样的一个式子

其中我们引入了一个 D 矢量

它既是矢量又是一个算符

因而括号里边的这个表达式

应该称为

D 这个矢量算符的矩阵元

而这个 D 的具体的表达式呢

就是 -e·r

大家很容易发现

这个量

其实就是电子的电偶极矩

而这个 D_k’k

是 D 这个电偶极矩的矩阵元

所以这种跃迁

又称为电偶极跃迁

总体来说

我们前面采用了

长波近似

而这样处理的结果

就是

电偶极跃迁

这两个物理概念

是互相关联在一起的