12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程在线视频

现在我们再来讲

处理散射问题的另外一种方法

叫做 Born 近似

首先我们来把

定态薛定谔方程做一下改写

并且引入所谓的格林函数

我们先来回顾在三维空间中

定态薛定谔方程是这个样子

由于我们现在考虑的是

散射问题

所以说

这里的 E 可以事先给定

从这个 E 就可以导出

入射粒子的波矢量的大小

再把这里的势能函数

乘上一个适当的常数

重新记作 U

那么这个方程

就可以改写成为一个

比较简明的样子

就是, 这里是

(∇² + k²)Ψ

等于 UΨ

如果我们略掉

右边的这个 UΨ 而让它等于 0

就成为这样的方程

这个方程叫做亥姆霍兹方程

如果我们把这个方程的右方

添上不等于 0 的函数

它就构成了

非齐次的亥姆霍兹方程

也叫做

带有源项的亥姆霍兹方程

而右边的这个函数称为源项

要解这种方程

可以利用

所谓的格林函数方法

它的要点是这个样子的

我们先构造一个这样的方程

注意这个方程里边的

拉普拉斯算符作用于

这个函数里边的 r 这个变量

因而在这个方程里边的 r′

实际上是一个参数

满足这个方程的

这样的二元函数

就称之为格林函数

重要的是

这个方程的右方的源项

是一个三维 δ 函数

意味着

当 r ≠ r′的时候它是 0

当 r = r′的时候它是无穷大

然而把 r′包括在内的

这个函数的

三维空间的积分等于 1

如果我们解这个方程

并且求出了格林函数

那么利用一个积分的表达式

我们就得到了非奇次

亥姆霍兹方程的一个特解

那就是这个表达式

因为, 很显然

当我们利用它做积分的时候

实际上就是

对右边的这个 δ 函数

乘以 S 来做积分

而应当给出

原来方程的那个解

如果问到

亥姆霍兹方程的一般解

那就是在这样的特解之外

再加上齐次

亥姆霍兹方程的一般解

因此我们就得到了

非齐次亥姆霍兹方程的一般解

所以现在的一个核心问题是

这个函数就是格林函数

是一个什么样的函数

事实上对于许多偏微分方程

都存在格林函数

所以不同的偏微分方程

格林函数也是不一样的

对于我们所感兴趣的

这个亥姆霍兹方程

我们可以证明

它的格林函数

是这样的一个函数

前边有个系数 -1/4π

后面乘的函数是

分子上是一个虚指数函数

e^{ik|r - r'|}

分母也就是 r 到 r′

之间的距离

为了证明这确实是格林函数

我们可以考虑一个

比较简单的情形

那就是让 r′= 0

因而这时候的格林函数

就化成这个样子

这里简单的就是

矢径 r 的长度

一旦这个方程得到了证明

那么我们把

整个坐标系平移一下

就得到了

刚才的那个格林函数

因此我们现在要证明的是

这个函数作为变量 r 的函数

满足的是这样的一个方程

它的右方就简单的是

以 r=0 为起点的一个 δ 函数

我们首先来证明

在这个方程里边

如果我们除去

r=0 的这个坐标原点

那么右方就直接的等于 0

因而 G 这个函数应该满足

(∇² + k²)

作用于它等于 0

换句话说用拉普拉斯算符

作用于这个 G 等于

- k² 乘以这个 G

这是一个直接的计算

那就是

我们用拉普拉斯算符

作用于这个函数

由于它和 θ, φ 无关

所以只剩下了

对于 r 的这样的微分

第一步先把这个微分做出来

并且乘以 r² 得到了这两项

然后再把这个表达式

对 r 微分一次

得到了这一系列的项

其中注意

这项跟这项是消掉的

只剩下这一项再除一个 r²

于是就得到了

-k² 乘上同样的这个函数

这就证明了

在 r≠0 的情况下

这个函数实际上是满足

∇² + k²

作用之后等于 0

那么另外一方面

我们还要证明

当 r=0 的时候

这样的一个作用

其实导致了一个奇异的函数

这个函数

在包围 r=0 的那一点的

小体积里的积分是等于 1 的

然后我们就要再验证一下

这个积分是等于 1 的

那就是

用这样的一个算符组合

作用于 G

并且在这样的一个

体积里做积分

那就是 以 O 点为圆心

以 ε 为半径的一个球体的内部

而这个 ε 是可以趋近于0的

好

我们来看一下

究竟如何来计算这个积分

第一步, 把它完整地写出来

考虑 ε 实际上趋近于 0

而 k² 乘以这个东西

总是有限的

所以事实上这项是可以不要的

只需要考虑拉普拉斯算符

作用于 G 然后再做积分

而 G 这个函数现在等于 -1/4π

乘以这个函数

应当用

拉普拉斯算符作用于它

再考虑, 在 r=0 的这一点

其实这个函数是正则的

而且等于 1

产生奇异性的只是这个 1/r

因此

我们把这个分子直接取作 1

而计算 1/r 被拉普拉斯算符

作用的结果

那么在这个时候呢

我们就可以利用一下高斯定理

因为拉普拉斯算符

实际上是先做梯度再做散度

因此利用高斯定理

我可以把这样的一个表达式

变成在

这个球体的表面上做面积分

而被积分的是 1/r 的梯度

而 1/r 的梯度是 -1/r² 乘以

r 方向上的单位矢量

这个 r 方向上的单位矢量

和矢量面积元 ds 做点积

实际上就变成了面积元的大小

而这个面积元

也就是 r² 乘以立体角元

然后我们再考虑

这个 r² 跟这个 r² 消掉了

就变成了

对整个立体角元的一个积分

它的结果是 4π, 和这个 4π 一消

最后的结果就是 1

这就证明了

我们刚才写下的那个函数

就是格林函数

那么如果我们

再回头去看薛定谔方程

我们就发觉实际上

原来被写作 S 的那个源项

现在是 UΨ

所以我们就看到

现在这个 Ψ 就等于 Ψ₀

它是齐次

亥姆霍兹方程的一般解

再加上这个格林函数

乘以这个元再做积分

一定要注意

这里的被积变量

我把它写作了 r′

r′出现在这个位置

而这个 r 是这里的这个 r

然后我们把

G 的具体形式代进去

就成为这样的一个表达式

其中, 除去这个 1/4π 之外

这里就是格林函数

它和 r 以及 r′都有关

然而在做了对 r′的积分之后

整个这个积分只是 r 的函数

这个方程称为

Lippman-Schwinger 方程

乍一看起来

我们似乎解出了波函数

因为你把波函数

写成了一个这样的表达式

但实际上还应该注意

同样的波函数

还出现在了这个积分当中

也就是说

在等式的右方

也有同样的未知函数出现

所以说对于这样的一个方程

我们更准确的称呼

应该是一个积分方程

所以说格林函数方法

事实上是把原来的

微分形式的薛定谔方程

变成了

积分形式的薛定谔方程

这二者其实是等价的

问题仍然并没有得到

回答和解决