当前课程知识点：量子力学（下） > 第十二章 散射理论 > § 12.1 散射实验和散射截面 > 12.1.2 计算散射截面的方法 散射振幅
刚才我们介绍的是
如何在实验上来测量
散射截面
现在我们就回答理论的问题
那就是
如果我们已经有了一个
关于两个粒子
相互作用的一个模型
我们如何来
算出这个微分截面呢
在量子力学里
散射理论的处理方法
不只一种
我们这门课将采用一种
定态的方式来做处理
现在我们来介绍一下
这个方法的要点
假设
有一个质量为μ的粒子
从z轴的-∞的方向射进来
这个粒子的能量
其实也就是动能是E
因此
它对应的波矢量就是
k=√(2μE)/ℏ
这样的一个粒子束流
就形成了一个入射的平面波
那么入射粒子
进入到散射中心附近的
这个区域
并且和中心粒子
相互作用以后
就要受到势能对它的影响
因而形成散射波
由于现在我们考虑的
是一个三维空间
因此
散射波是一个球面波
入射的平面波和
散射的球面波
合在一起
就构成了总的波函数
而这个波函数
应该服从定态薛定谔方程
这就是我们处理散射问题的
基本方程
为了把这个方程
表现的更加简明
我们利用这样的一个
常数变换引入一个势能
记作U
它是原来的V乘以一个2μ
再除以ℏ2
那么这时候
刚才的那个定态薛定谔方程
就成为这样的一个
比较简明的方程
它比较适于我们进行求解
这里的U我们假设它
满足这样的要求
就是|r|乘以U
在无穷远的地方趋近于零
这里的r就是矢径r的长度
那么刚才我们曾经提出
如果靶粒子和子弹粒子
在相距很远的时候
没有相互作用的话
这个V在它们距离
趋于无穷的时候趋近于零
而现在我们发觉
这个要求在这个要求之外
有所加强
因为
这里又乘了一个r的大小
之所以要这样做
主要是要满足
下面我们所要称之为的
渐近解的条件
所谓的渐近解
我们说的就是在无穷远处
方程就化为
这样的一个很简单的方程
大家知道
这个方程称为亥姆霍兹方程
这个方程
可能存在两种形式的解
一种是平面波解
在这里它代表的是
入射粒子的运动
另外一种是球面波解
它代表的是散射粒子的运动
具体的说
入射的平面波
就是这样的一个表达式
由于我们后边要把方程的解
和散射截面联系起来
研究发觉
这里把相乘的那个
常数因子取做1
是一个最方便的选择
而描写散射的球面波的是
这样的一个形式
它是两部分的乘积
一部分代表着
向外的一个球面运动
而这一部分
代表着这个向外的发散波
可能随着不同的方向
而有不同的振幅
我们很容易来看到
Ψ1的那个球面波
是满足自由粒子的
薛定谔方程的
同时我们也可以证明
在刚才所说的这个条件之下
这个球面波
也满足自由粒子的
薛定谔方程
这里
虽然球面波的表达式当中
出现了一个
未知的这样的函数
然而
无论它是什么样的函数
这个波
满足自由粒子的薛定谔方程
是永远成立的
所以我们把散射问题的处理
归结于下面的一个假设
那就是
波函数Ψ在无穷远处
分解为两部分之和
一部分是平面波
代表入射波
另外一部分是球面波
代表散射波
那么下面的问题
就是这样的两种波
究竟给了我们什么样的
粒子的运动状况呢
从量子力学的角度来说
描写粒子运动状态的是
几率流密度
我们就来分别的计算一下
这两个波的几率流密度的值
首先来计算入射的平面波
很显然
这个波是沿着z方向
向前传播的
因此
它的几率流密度
只有
沿着z方向上的一个分量
而把几率流密度的表达式
代进去的话
是这样的一个式子
然后
把这里的Ψ用平面波代入
很容易算出来
它的结果就是ℏk/μ
k是波矢量的大小
μ是粒子的质量
而ℏk大家知道
就代表的是量子粒子的动量
因此动量除以质量
给出的是速度
这里的所谓的速度
是所谓对应的
经典力学当中
所定义的那个速度
至于说
球面波所造成的几率流
我们就要利用一下
拉普拉这个算符
在球坐标之下的
这个表达式
由于现在我们观察的是
粒子沿着径向
向外流动的情形
因此我们的注意点是
这个表达式的第一项
那么
把这样的一个定义代入到
散射波所造成的
几率流当中去的话
我们要的是
这个几率流密度
沿r方向上的分量
因而是一个这样的表达式
其中应当用Ψ2的那个
球面波的表达式代进去
计算的结果很容易发觉
这个量是不需要被微分的
因而
直接出现了它的模平方
需要被微分的
只是和r有关的那个函数
而这一部分计算的结果是
这个表达式
我们发觉
这两项是相同的
因而是加倍的
最后整理的结果就是
这样的一个表达式
其中这个v
仍然是
刚才的ℏ乘以k除以μ
这里的r2很显然
来自这个因子
别忘了
同时f是有一个模平方
出现在这个表达式里
好
现在我们就把
刚才所算得的
这些几率流密度
对应于我们刚才所说的
散射运动来观察一下
在(θ,φ) 这个方向上
穿过一个小面积dS的
几率流的大小
很显然
这就是这个方向上的
几率流密度的值
乘以这个面积dS
我们把它记作dw
而再把刚才所算得的
Jr的表达式代进去的话
它就是
v乘以这个f的摩平方
然后这里有一个r2分之一
上面分子上
仍然要有一个dS
而大家很容易发觉
这里的dS除以r2
不是别的
正好是立体角元的定义
所以说
最后这个dw就成为
v乘以f的模平方
再乘以dΩ
然后我们把
这样的一个表达式
再对比一下
实验上的定义这个dw
实际上对应着这里的dn
Φ就是原来我们所定义的
那个粒子束流
而它实际上就是Jz
所以说
如果这样对照起来的话
我们应该把这个dw除以Jz
而它就是v再除以dω
正好得到的就是
微分散射截面
而这样出现的结果
给出的就是σ
等于f的模平方
这就是我们所得到的一个
很简明的理论上来预言
微分散射截面的一个公式
因此f(θ,φ)
被称之为散射振幅
原因是它的模平方
给出了散射的截面
好
经过上面的这些分析
我们可以总体来
回顾一下理论上
计算微分截面的一个方法
首先我们要写下
波函数所满足的
定态薛定谔方程
经过适当的系数的改造
它形成这样的一个
比较简明的一个形式
其中k是利用
粒子的入射动能
质量以及普适常数ℏ
来定义的一个波矢量的大小
而U是在实际的
相互作用势能V的前面
乘上一个这样的系数
而构成的
然后我们要假设
这个波函数在无穷远的地方
是这样的一种渐近的形式
就是平面波
注意前面的系数是1
加上一个球面波
那么
把这样的形式
和这个方程结合起来
我们就可以解出
这个f(θ,φ)
求出这个f以后
它的模平方就给出了
微分散射截面
因此我们看到
一方面我们可以通过实验
测量出微分散射截面
另一方面在给出了入射粒子
靶粒子以及它们的
相互作用的特征之后
我们理论上又可以求出
散射振幅
因而可以在理论上预言
散射截面
这表明
散射截面是在
实验和理论之间所搭起的
一座桥梁
利用这样的关系
我们比如说
可以检验在理论上所假设的
粒子之间的相互作用
是不是正确
有的时候还可以从实验中
所测得的微分截面
去猜测或者是预言
粒子之间的相互作用
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
