13.1.4 类氦离子的基态能量在线视频

下面我们就来看一下

这个变分方法的

具体的数值结果

还是拿类氦离子的

基态能量做这个例子

刚才我们已经假定了

所谓的试探波函数的形式

然后就应该利用

这个试探波函数

解出能量的平均值 H

也是利用原子单位制

这个 H 现在显得比较简单

它包括了两上电子的动能项

每一个电子

被原子核所吸引的势能项

这是负的

还有两个电子互相之间的

库仑排斥作用能项

那么这个前面是正的

这里的 r₁

代表的是第一个电子

和原子核之间的距离

r₂ 是第二个电子

和原子核之间的距离

而 r₁₂ 是

这两个电子互相之间的距离

所以把这样的波函数

代到 H 的平均值的表达式里

这个地方是那个

试探波函数的复共轭

这个地方是试探波函数

中间插进去的就是

哈密顿量算符

当然要注意

这里是包含了对 Ψ 里边的

r₁ 和 r₂ 的微分的这两项

具体地说

这里是归一化因子

这两个就是

和坐标变量有关的波函数

其中应该把所有的这些项

对这个波函数的作用

完成以后

再乘以这个函数并且对

两个电子的坐标做积分

这当然是一个比较复杂的计算

我们不在这里做仔细的解释

实际上

最难计算的就是所谓的

两电子相互作用项

因为它涉及的是

两电子之间的距离

所有的这些计算

都是可以解析地完成的

但是我们不做具体的介绍

下面只给出最后的结果

这里要提醒大家 λ

在这个表达式里边

实际上是一个

归一化因子的作用

所以我们可以大约地猜到

这个 H 的平均值

应该是 λ 的某种多项式

事实也确实是如此

我们发觉

H 的平均值

是 λ 的一个二次函数

而这个二次函数

对于 λ 的变动所给出的极值

应该满足

H 对λ的偏导数等于 0

而这是一个

很容易完成的一个微分

结果就得到了 λ 的值

我们知道实际上这意味着

当 λ 取这个值的时候

H 达到极小

观察一下这个 λ 的值

你发觉是 Z - 5/16

这实际上是和我们刚才

从物理图像

所得到的预料是类似的

那就是有效核电荷

比实际核电荷略微小了一点

这里边的这个数字

是和 Z 无关的

因此如果 Z 比较小的话

这个修正可以相当之大

再把这个 λ 带入到

H 的平均值的表达式里

就得到了所谓的

基态能量的一个近似值

也就是

H 平均值的一个极小值

很容易发觉它就是这个

有效核电荷数的平方

再添一个负号

当然是在原子单位制的条件下

我们发觉

如果 Z=2 的话

这个修正项相对于原来的 Z

会达到一个最大的比例

而这个比例是 15.6﹪

这还是一个相当大的数值

这表明

由于电子和电子之间的

库仑排斥而引起的

对核电荷的屏蔽效应

实际上是起了很重要的作用

但是这样的计算结果

和实验比较起来

是不是令人满意呢

我们可以做这样的比较

首先

我们上一章介绍了微扰论

当然这样的方法

也同样可以用到

类氦原子能量的计算上来

所以我们可以首先把

变分法得到的基态能量

和微扰论得到的基态能量

比较一下

比较的结果发现

变分法给出的基态能量

要更低一些

那么大家知道

基态能量应该是

所有的能量可能值里边

最低的那一个

我们得到的能量越低

自然就越接近实际的基态能量

所以说刚才这个结果表明

在现在这个情况下

用变分法来求基态能量

要比微扰论要好

但是这个方法

最后的物理的效果

究竟如何

还是要把计算结果

和实验结果做比较

这个比较就告诉我们

即使我们采用了变分法

所得到的基态能量

还是不够低的

我们来看一看

这样的一个数值表

都考虑的是氦原子的基态能量

这是微扰论的计算结果

这是变分法的计算结果

而这是实验结果

三者比起来微扰论的最高

变分法的居中

而实验的结果是最低的

这就表明

我们这里所做的

变分法的计算

按照理论和实验

相比较的要求而言还是不够好

也就是说

计算的结果还不够低

之所以会有这样的情形

是因为我们这里所做的

是一个比较简单的变分

称之为单参数变分

这意思就是说

我们在试探波函数里边

只引入了一种变形

而这个变形

只用一个参数来代表

如果我们能够在这个

试探波函数里边

引入更多的变形

也就是说

引入更多的参数

进行多参数变分

那么只要那些变形

有它自己的物理上的依据

我们还是可以把

理论计算出来的基态能量

做进一步的降低的

因而可以得到

更好的变分法计算的结果