*9.1.4 相干态和压缩态在线视频

下边的这一个小节

也是打*号的

也就是选修的内容

我们来介绍一下

相干态和压缩态

这里的问题涉及到了

量子光学的

一些概念和做法

在量子光学里边

我们是从量子力学的角度

来研究光束

特别是激光束

在这个时候

我们的做法是把

刚才我们在谐振子里边

所得到的那个形式

反过来进行

意思是这个样子的

我们来考虑一个

给定的频率和

传播方向等等的

激光束

当然

从量子光学的角度来说

光子可以被产生和被湮灭

因此

我们就引入a和a^†

作为光子的湮灭和产生算符

也用a^†乘以a

来构造光子束算符

并且把它记作大N

当然

对应的我们就有

光子束本征态

把它记作

态矢里边写一个小n

而这个小n可以是全体的

非负整数

事实上在这里

我们谈不到所谓光子的

坐标和动量

但是呢

为了对有些问题进行分析

我们仍然引入

这样的所谓的x和p

它们只不过是仿照

在谐振子情况下的

坐标和动量所引入的

形式上的算符而已

现在有一个很重要的问题

那就是

在谐振子的情况下

我们通常假设

这个系统可以处于

N的本征态

也就是能量本征态

但是

现在我们的对象

变成了光子

由于

光和物质相互作用的时候

光子束不是一个守恒量

所以对于激光束而言

通常不能假设

它是N的本征态

我们可以假设

它处在一个新的状态

叫做相干态

当我们下面研究过相干态的

一系列重要性质以后

同学们可以反过来理解

为什么应该假设

激光是处在相干态的光

首先要解释一下

什么是相干态

这里我们把相干态

记作一个右矢量

中间加一个复数α

它的定义

就是

湮灭算符的本征态

也就是说

满足a作用于态α

等于这个复数α

乘以同样的态α

当然我们也还要求这个态

是归一的

注意到a自己

并不是厄密算符

所以

这里的所谓的a的本征值

不再是实数而是复数

也就是一个

不难理解的事情了

当然要完全对于相干态α的

各种性质的研究

需要做很多的具体的计算

这些计算涉及到

比较复杂的一些技巧

所以

在我们这门课里边

不在课堂上详尽的解释

这些结果的来源

和推导它们的过程

只是把有关的结果

罗列在下面

请同学们不妨作为练习

试着来推导一下

第一个

当然就是最重要的问题

那就是

相干态如何具体的表达出来

当然我们现在仍然假设

光子束本征态

这个小n

是我们整个问题的基础

也就是说

我们是在光子束表象中

来研究问题

因此

相干态应该写成为

光子束本征态的线性组合

而问题就是把

这些组合系数求出来

当然求出这些组合系数的

前提是让这个α

成为湮灭算符的本征态

而对于湮灭算符作用在

光子束本征态上的结果

我们是知道的

利用刚才说的本征方程

以及湮灭算符的作用

我们就可以导出

这此系数的一个递推关系

当我们取定了其中的

一个系数以后

其它的系数

就都可以完全决定下来

通常把这个自由选择的系数

取作基态前面的那个系数a₀

那么a₀的确定

就是通过归一化条件

所以说事实上

这个表达式

是利用系数递推公式

得出来的

而这个因子的作用

是归一化因子

有了这个结果

我们还可以进一步的导出

相干态的其它性质

比如说

假如我们给了一个

本征值为α的相干态

那么

它的平均光子束是多大呢

那就是来做N这个算符

在这个态上的内积

具体的计算结果

给的是α的模平方

也就是α的复共轭乘以α

刚才已经说了

相干态不是光子束的本征态

然而它有完全确定的

平均光子束的值

既然它不是光子束本征态

这个光子束就是有涨落的

我们还可以进一步来求出

光子束的均方根涨落

也就是

N平方的平均值

减去N的平均值的平方

再开方

这个量就定义为

均方根涨落

那么具体的计算

给出来的结果是

这个光子束的均方根涨落是

根号下N的平均值

也就是这个值

当然α

本身可以取值在

整个的复平面上

所以说

我们可以给定

两个不同的复数α

和β

去构造和它们对应的相干态

那么

如果我这个算符是一个

厄密算符

从而它的本征值是实数的话

那么

我们原来已经有了一个结果

那就是

属于不同的本征值的本征态

是彼此正交的

但是

对于相干态来说

这个结论并不成立

具体的计算给出

这两个不同的相干态的内积

可以用α和β这两个复数

构造的一个函数来表达

在绝大部分的情况下

这个复数是不等于0的

然后我们来研究

相干态的更多的性质

首先考虑一下不确定关系

那么大家知道

所谓的不确定关系

说的是x的涨落

和p的涨落之间的关系

说的是这二者的乘积

而对于相干态

不论这个α取值为多少

都可以证明

刚才所定义的那个

坐标算符的均方涨落

和动量算符的均方涨落

都是1/2

因而它们的乘积是1/4

这样的状态有一个名字

叫做最小测不准态

因为

不确定关系的不等式

现在成为等式

第三

我们还可以研究一下

相干态的完备性

当然原来大家知道的是

如果

一个态矢量集是完备的

那么把每一个态矢量

写出它的右矢在左

左矢在右的这样的乘积

并且对全体态矢量求和的话

它应该等于单位算符

现在我们可以构造类似的

这样的表达式

只不过求和变成了积分

因为α是一个取值在

全复平面上的一个复变量

这里的积分定义为

dα复共轭乘以dα

它也可以换写成为

两倍的dα的实部

乘以dα的虚部

不过令人意外的是

当我们把

这样的一个积分元

代入到这个积分里边

并且把α的表达式

也代进去以后

做这个计算的时候

我得到的却是2π

乘以单位算符

这里的单位算符

是从光子束本征态N的

完备性给出的

因此

这里多了一个因子2π

由于这里的右方

并不是单位算符1

而是有了一个大于1的因子

因此我们称

全体的相干态的集合

是过完备的

刚才的那个等式

就称为这个集合的过完备性

第四

我们还可以构造一个算符

使得它可以从

一个基本的相干态

产生其余的相干态

这样的算符称之为平移算符

那么具体的说

这个算符是这样来构成的

e指数上α

乘以a的厄密共轭

减去α的复共轭乘以a

容易证明

这样的算符满足

下面的一些关系

一个就是利用这个算符

D(α)对于a这个算符

做一个变换

那就是左边乘以D的幂

右边乘以D

你就可以证明

变换之后就是a这个算符

加上了一个复常数α

同时

利用它你就很容易知道

如果我把D(α)

作用于α等于0的那个态

其实也就是

光子束基态

那么它正好就是

本征值为α的那个相干态

这样两个式子都说明了

把这个D(α)

称之为a的平移算符

是有道理的

那么

我们很容易就提一个问题

既然这个D(α)

是把a平移一下

那么

我们把这个平移作用两次

不是可以得到一个新的平移

而它也应该是一个

平移算符吗

这样的一个想法

部分的得到了

下面这个等式的支持

那就是

D(α)乘以D(β)

要记得所谓两个算符相乘

实际上就意味着

它们先后作用

在同一个对象上

其结果

是D括号里边α+β

但是要注意

这前边还有一个

不等于1的一个因子

因此我们应该说

这种平移运算

不太相同于

大家直观所理解的平移

区别就在于

这里边

有一个不等于1的因子