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10.3.1 碱金属原子的哈密顿量在线视频

10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

下一节:10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

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10.3.1 碱金属原子的哈密顿量课程教案、知识点、字幕

在前面的课程中

我们讨论过

氢原子的能级和光谱线问题

氢原子中

电子的波函数由三个量子数

也就是主量子数n

轨道角动量量子数l

和磁量子数m_l来表述

而氢原子的能量

只和主量子数n有关l

对于轨道角动量量子数l

和磁量子数m_l都是简并的

在这一小节中

我们将讨论考虑了

电子的自旋自由度以后

特别是考虑了

电子的自旋轨道耦合

以及相对论效应下

碱金属原子的能级

和光谱结构问题

首先我们讨论

碱金属原子的

哈密顿量的表述问题

碱金属原子有一个价电子

它是在原子实

也就是原子核加上

内层满壳电子的影响下运动

因此

价电子所受到的势场

可以用一个

屏蔽库仑势场来描写

一种可能的表述方法

就是这样的形式

在这个表达式里面

r是价电子

与原子实中心的距离

Z是原子序数

κ是一个大于0的参量

而e指数上-κr

就代表了屏蔽效应

对于这个屏蔽库仑势场

我们发现

当r→∞的时候

屏蔽库仑势趋向于-k₁e²/r

也就是

中心电荷为+e的库仑场

而当r→0的时候

屏蔽库仑势场

又趋向于-k₁Ze²/r

也就是

中心电荷为+Ze的库仑场

但是

在我们下面的分析和讨论中

并不涉及到屏蔽库仑势场

V(r) 的具体形式

所以

在不考虑电子自旋的情况下

碱金属原子的哈密顿量

可以写成下面的形式

其中第一项是电子的动能项

第二项是

电子在原子实中的势能项

在这里我们注意到

与氢原子的

纯的库仑势场的情形不同

现在屏蔽库仑势场中的

价电子的能级

和两个量子数n,l都有关系

当主量子数n给定以后

轨道角动量的量子数

l的取值为

0 1 2等等一直到n-1

我们将这时候的能级

记为E右下标nl

但是

能级仍然对轨道角动量的

投影量子数m_l是无关的

所以能级的简并度是2l+1

另外屏蔽库仑势场中

价电子的能级还有一个特性

也就是一般来说

n相同而l不同的时候

能级之间的距离小于

n不同时能级之间的间距

现在

再把电子的自旋考虑进来

应该加上自旋轨道耦合

那么哈密顿量的形式

就变成了下面这个式子

其中第三项就代表了

自旋轨道耦合

注意到

自旋轨道耦合

与电子的轨道角动量

与自旋角动量的点积成正比

前面的系数记为ξ(r)

ξ(r)的大小正比于

1/r价电子在原子实中的

电势能对r的一阶导数

m_e为电子的静止质量

c为光速

现在

系统守恒量的完备集

可以选为H,L²,J²,J_z

我们可以将系统的波函数

设为径向波函数大R(r)

再乘上角度部分以及

自旋转部分的波函数

而我们将角度部分

和自旋部分的波函数选为

L²,J²,J_z的同时本征态

我们将它记为Φ右下标ljm_j

Φ_{ljm_j}>是θφ角度的函数

同时它也依赖于

电子自旋z方向上的投影s_z

将这样形式的波函数

代入到球坐标系下的

能量本征方程中

我们就可以得到

径向波函数大R(r)

所满足的方程

而我们在上一节中

已经计算了

LS对总角动量的本征态

也就是

L²,J²,J_z同时本征态的

作用的结果

所以对于总角动量量子数

j取l+(1/2)的情况

那么

径向波函数所满足的方程

就是下面这个方程

在这里自旋轨道耦合

作用的结果就是

lℏ²/2乘上ξ(r)

而对于总角动量的量子数

j取l-1/2的情况

那么径向方程就是

下面这个方程

而自旋轨道耦合作用的结果

就是负的(l+1)ℏ²ξ(r)/2

从这些方程中

我们可以解出

能级E以及相应的

径向波函数R(r)

量子力学（下）课程列表：

第八章量子力学的矩阵形式

-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换

--8.1.1 量子态的表象态矢量

--8.1.2 算符的矩阵表示

--8.1.3 表象变换量子力学的幺正不变性

-第八章量子力学的矩阵形式--第一周作业

-8.2量子力学的矩阵形式

--8.2.1 离散表象中的量子力学诸方程

--8.2.2 离散表象中本证方程的解法

--8.2.3 算符矩阵的对角化

-8.3 狄拉克符号

--8.3.1 两种态矢量

--8.3.2 算符及其本征方程

--8.3.3 完备态矢量集合表象

-第八章量子力学的矩阵形式--第二周作业

第九章本征值问题的代数方法

-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法

--9.1.1 线性谐振子的代数解法阶梯算符

--9.1.2 坐标表象中的波函数

--*9.1.3 关于自然单位制

--*9.1.4 相干态和压缩态

-第九章本征值问题的代数方法--第3周作业

-§ 9.2 角动量的本征值和本征态

--9.2.1 角动量的一般定义

--9.2.2 角动量的阶梯算符

--9.2.3 $j^2$和$j_z$的本征值

--9.2.4 角动量的本征态

--*9.2.5 球谐函数的代数生成法

-§ 9.3 角动量的合成

--9.3.1 角动量合成的一般规则

--CG系数的确定

--第九章本征值问题的代数方法--第4周作业

第十章电子自旋

-§ 10.1 电子自旋及其描述

--10.1.1 电子自旋的发现

--10.1.2 电子自旋的描述泡利矩阵

--10.1.3 泡利矩阵的主要性质

--10.1.4 二分量波函数矩阵算符

-第十章电子自旋--第五周作业

-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合

--10.2.1轨道角动量和自旋角动量的合成

--10.2.2 电子的自旋-轨道耦合

-§ 10.3 原子光谱的精细结构

--10.3.1 碱金属原子的哈密顿量

--10.3.2 碱金属原子的能级分裂和光谱的精细结构

--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动

--第十章电子自旋--第六周作业

-§ 10.4 塞曼效应

--10.4.1 有自旋的电子在电磁场中的哈密顿量

--10.4.2 正常塞曼效应

--*10.4.3 反常塞曼效应

--*10.4.4 自旋电子学简介

-§ 10.5 自旋纠缠态

--10.5.1 两个电子自旋的合成单态和三重态

--*10.5.2 两个电子自旋纠缠态贝尔基

-第十章电子自旋--第七周的作业

第十一章微扰论

-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形

--11.1.1 微扰论的基本构架

--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数微扰近似适用的条件

--11.1.3 二级微扰能

-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形

--11.2.1 一级微扰能和零级波函数

--11.2.2 斯塔克效应

-第十一章微扰论--第八周的作业

-§ 11.3 量子跃迁的微扰论

--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解

--11.3.2 处理跃迁问题的微扰论方法

--11.3.3 简谐微扰和共振跃迁

--11.3.4 选择定则

--第十一章微扰论--第九周的作业

-§ 11.4 光的辐射和吸收

--11.4.1 长波近似和电偶极跃迁

--11.4.2 电偶极跃迁的选择定则

--*11.4.3 对连续光谱的吸收系数

--*11.4.4 自发辐射的爱因斯坦理论

--第十一章微扰论--第十周的作业

第十二章散射理论

-§ 12.1 散射实验和散射截面

--12.1.1 散射截面的实验定义

--12.1.2 计算散射截面的方法散射振幅

--*12.1.3 全同粒子的散射问题

-第十二章散射理论--第11周的作业

-§ 12.2 中心势场中的分波法

--12.2.1 分波法的一般公式和适用范围

--12.2.2 球方势垒的S波散射

--*12.2.3 球方试阱的共振散射

--第十二章散射理论--第12周的作业

-§ 12.3 玻恩近似

--12.3.1 格林函数方法和李普曼-施温格方程

--12.3.2玻恩近似及其适用条件

--12.3.3 屏蔽库仑场的卢瑟福散射

--第十二章散射理论--第13周的作业

第十三章其它近似方法

-§ 13.1 里兹变分法

--13.1.1 变分原理

--13.1.2 里兹变分法试探波函数

--13.1.3 类氦离子的试探波函数

--13.1.4 类氦离子的基态能量

-第十三章其它近似方法--第十四周的作业

-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似

--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度波恩-奥本海默近似

--*13.2.2 氢分子离子

--*13.2.3 氢分子共价键

--第十三章其它近似方法--第十五周的作业

-*§ 13.3 突变近似和绝热近似

--*13.3.1 突变近似

--*13.3.2 按瞬时本征态展开

--*13.3.3 绝热近似和它的适用条件

--*13.3.4 贝里相位几何相位

10.3.1 碱金属原子的哈密顿量笔记与讨论

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