当前课程知识点:量子力学(下) > 第九章 本征值问题的代数方法 > § 9.2 角动量的本征值和本征态 > *9.2.5 球谐函数的代数生成法
这一小节我们讨论
球谐函数的代数生成法
那么这一小节的内容
是选修内容
在上一小节中
我们得到
如果我们知道
最高投影态
那么我们可以得到其它的
本征态
那么如何得到最高投影态
就需要知道
角动量的具体的形式
那么这一小节我们以
轨道角动量为例
来求解这个最高投影态
轨道角动量的三个分量
在球坐标系下的
具体的表示形式
就是这个样子的
那么这个表示形式
我们也在之前的章节中
第四章第四节给出过
这样我们就得到了
阶梯算符在球坐标系下的
表示形式
令m=l
那么这时候的本征函数
就是最高投影态
我们记为Yll(θ,φ)
通过分离变量
我们知道这个最高投影态
它有两个部分
一部分是只跟θ相关
我们记为Pl(θ)
另一部分是跟φ相关
它的具体的表达形式
是e指数上面指数是ilφ
Pl(θ)就是勒让德函数
我们将角动量算符的z分量
作用到最高投影态上
就得到了它的本征值
l乘上ℏ
另外
由于这是最高投影态
因此
上升算符作用到
这个最高投影态上
等于0
我们将上升算符
在球坐标系下的表示式
以及
刚才最高投影态下的分解式
代入到这个公式中
我们就得到了
勒让德函数的微分方程
就是这样的一个方程
它的解
是正比于sinlθ
完成波函数的归一化之后
我们就得到了
最高投影态的具体的表达式
它就是这样的一个表达式
如前所述
再用下降算符L-
不断的作用于最高投影态
我们就得到了其余的本征态
Ylm
我们看到
这样得到的本征态
和前面第四章第四节
用解微分方程的方法
得到的球谐函数
是完全相同的
但是在这里
求解的方法变得简单了
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构,超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I:非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II:简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似