当前课程知识点：量子力学（下） > 第八章 量子力学的矩阵形式 > 8.3 狄拉克符号 > 8.3.3 完备态矢量集合表象
前面我们介绍过了
量子力学的表象
这个概念
现在
我们再从
狄拉克符号体系的角度
对这个概念做一下说明
要构成一个表象
就要有一套态矢量的集合
这里我们把这个态矢量集合
记作右矢
说明文字n
n取为正整数
这个态矢量集合
需要满足下面的两个条件
一个是正交归一性
那就是
在这个态矢量集里
取出两个态
分别记作m和n
来构造它们的内积
当m=n的时候
也就是说
取的是
同一个态矢量的自身同积
这个内积是1
也就是说
态矢量是归一的
而如果m≠n
这个内积是0
表明两个不同的态矢量
是正交的
那么大家知道
这样的一个取值
合起来表示成为一个
δ符号
这是第一个条件
另外一个条件
它是完备的
在狄拉克符号的
这个体系之下
这个完备性是这样来表达的
取同样一个态矢量的
左矢和右矢
然而右矢写在左边
左矢写在右边
前边已经解释过了
实际上
这是一个算符
然后
把所有的这样的算符
全部加起来
它正好等于单位算符
那么
这样的性质
称之为
这个态矢量集合的完备性
那么
这样的一个态矢量的集合
就形成了一个表象的基底
在这个求和式里边
每一项是一个这样的形式
这一项有一个名词
叫做属于这个态的投影算符
投影算符呢
具有这样的一个性质
第一个说到的是
这个算符的平方
我们看
如果构造它的平方
那么我们应该在这里
添上一个n右矢
和一个n左矢
而这两个合起来实际上是1
所以说
剩下的仍然是这里的左矢
和最右边的那个右矢
这就表明
这个算符的平方
是它自己
其实满足这样的性质的算符
统之都称为投影算符
第二个性质
就是刚才写下来的
所有的投影算符的和
这个所谓的所有的
意思就是这个n应该取遍
这个态矢量集的所有态矢
那么这个和是一个单位算符
也就是说
这个投影算符的集合
是完备的
有了这样的基本的一组态矢
那么任何一个态矢量
都可以写成一个分解的式子
也就是说
是一个线性组合
我们可以这样来理解
这个式子
这是一个任意的右矢
由于我这个投影算符之和
是单位算符
所以说
我可以把这个单位算符
写在任意的态矢量的前边
当然还是原来的态矢量
这个做法
在量子力学的运算里边
有个名词
叫做插入完备集
而这个算符Pn
就是这样的一个形式
你把这个n和这个ψ
合在一起
它给出的是一个内积
而剩下的却是这个n的右矢
所以说
实际上
这样的一个求和式
在本质上是
所有的态矢量的线性组合
这里的组合系数
很明显就是这个ψ
和n的一个内积
这就表明
只要有这样的一套
正交归和完备的态矢量集
它就可以用来
表达任意的态矢量
而这正是表象的基本原理
刚才考虑的是
态矢量在一个表象中的
表达方法
现在我们再来考虑算符
假若F代表一个算符
那么
我们就可以在这个表象当中
取出任意的两个
一个放在F的左边
另外一个放在F的右边
构成一个内积
这个内积在本质上就是数字
我们就把这样的数字
一般而言是复数
就记作F右下角mn
实际上
它就是我们原来在讲
算符的矩阵表示的时候的
那个矩阵元
有了这样的矩阵元
我们就可以提一个问题
我如何反过来表达
算符F自己呢
结果是这个样子的
把矩阵元写成为一个
求和式里边的系数
而这个和式里的算符的内容
是这样构成的一个算符
刚才我们已经解释了
所谓的右矢写在左边
左矢写在右边的这种对象
其实是一个算符
因此这样构造的一个对象
实际上就是算符
而你再用这个形式
去构造这样的内积
你发现
它正好还原为这个Fmn
这就表明
这样的一个表达式是正确的
所以
假若我们取F自己的表象
那么
你实际上得到的是一个
这样的式子
因为n现在事实上是F的
本征矢量
它作用于这个n
就等于它所对应的本征值
乘以它自己
而只有当m=n的时候
它们两个才会成为1
而其它的时候都等于0
所以
这个求和式
不再是对两个指标的求和
而只剩下了一个指标的求和
其算符的内容
每一项都是刚才所提到的
投影算符
但是
它的前面不再是乘以1
而是乘以这个本征矢量
所对应的本征值
把这样的一个求和式完成
又回到了算符F自己
介绍过了
狄拉克符号体系之后
我们不妨把自己的眼光
再回看一下
那就是
到目前为止
我们介绍量子力学所采用的
最经常的语言是波函数
这个波函数是
实变量的复函数
那么一个很自然的问题就是
这种波函数
在狄拉克符号的体系下
是一个什么样的地位呢
注意到
狄拉克符号里边的
所谓的态矢量和算符
都仅仅是抽象的代数符号
其实
并不代表任何具体的数字
而波函数
当然是复数
因此大概可以猜得到
这个波函数应该对应着
所谓的这个符号体系之下的
一种内积
下面我们就来说明
原来大家熟悉的那个波函数
实际上是坐标表象里的
量子态的内积
首先我们来构造坐标表象
当然它也是基于
一套矢量的集合
我们把它记作
右矢中间加一个说明文字
就是x
这个x实际上是实变量
可以把它理解为
所谓的坐标本征函数
本征值是x
因此这个x满足的是
这样的一个本征方程
左边的这个x
代表的是坐标算符
右边的这个x0
代表的是坐标本征值
因而写在这里边的这个x0
就是本征值为x0的
坐标本征函数
当然x0本身
取值在实轴上
这样的一个本征矢量集的
正交归一性
是这个内积其中x1和x2
是任意给定的两个实数
这个内积是一个
x1和x2的δ函数
它的完备性
就是取
同一个本征矢量的右矢
和左矢以这样的方式乘起来
再对所有的本征值求积分
结果是一个单位算符
也就是
把刚才对于正整数的求和
现在换成了
对于实变量的积分
所以任何量子态
都可以做这样的改写
也就是
在一个任意的右矢的前面
添上一个单位算符
刚才我们介绍过
这个做法叫做
插入完备集
因为这个单位算符
可以用
这样的一个积分来代替
而正好这样的一个左矢
和这个右矢
所代表的那个内积
实际上是一个复数
我们就把这样的复数
记作一个ψ
作为实变量x的函数
因而这样一个
抽象的代数符号的态矢量
就变成了
坐标本征矢量
乘上一个复函数
然后再对实变量x去积分
很明显
它换成一个这样的形式之后
就可以把这个ψ(x)
当作这样的一个
态矢量的特征的一个表达
于是它就具有了
描述量子态的意义
而这个量
就是我们在前面
所称呼的波函数
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
