8.2.3 算符矩阵的对角化在线视频

刚才我们介绍了一下

在矩阵的形式下

来求解本征值和本征矢量

现在我们来介绍

这个结果的更进一步的意义

和它的应用

我们的注意点

放在本征矢量上

假设我们已经求出了

属于某一个算符 F 的

n 个本征值

当然它们都是实数

为简单起见

仍然假设是没有重根的情形

每一个本征值

都对应着一个本征矢量

假设我们已经做好了

本征矢量的归一化

注意

这里的每一个 ψ

都是一个 n 分量的列矢量

而不是一个数

好

现在我们就把这些本征矢量

按这个方式排列起来

那就是

它放在第一列

它放在第二列

等等等等

一共有 n 列

那么大家马上就发觉

这样排好了之后

实际上你得到的是一个

n 行 n 列的矩阵

所以这里千万不要误会

这是一个 n 个分量的

行矢量

那么

这个矩阵的厄密共轭矩阵

是什么样子的呢

当然

这时候我们就要把

所有的列矢量

都变成行矢量

于是这个矩阵的

厄密共轭矩阵

就成为这个样子

这是 ψ₁

从列矩阵变成行矩阵

ψ₂ 也从列矩阵变成行矩阵

把它们竖向的排列起来

于是

它仍然是一个 n 行 n 列的

方矩阵

首先

我们把这两个矩阵乘一下

发现一个什么样的结果呢

这里写的是

S^† 乘以 S

这就是那个 S^†

这就是那个 S

再强调一遍

这个 ψ^†

实际上是一个行矩阵

而这个 ψ

实际上是一个列矩阵

好

这样的两个矩阵相乘

遵循的就是

行乘以列规则

所以说

乘出来的这里的第一个元素

实际上是这一行乘以这一列

这个元素是

这一行乘以这一列

等等 等等

当然乘出来之后的

每一个这样的位置

都是一个数字了

那么

这样的乘法结果如何呢

你看这个元素是 ψ₁

和它自己的厄密共轭的乘积

根据归一化的结果

它是 1

而这个位置的元素

是 ψ₂

和 ψ₁ 的厄密共轭的乘积

根据本征矢量的正交性

它是 0

由此你就可以发觉

所有的这些对角元素

都是 1

而所有这些非对角元素

都是 0

于是就是一个这样的矩阵

这个矩阵就是单位矩阵

现在我们从

最左方看到最右方

它告诉我的就是

S 的厄密共轭乘以 S

是单位矩阵

根据定义

这就是说

S 是一个幺正矩阵

我们发觉

S 是幺正矩阵的这个性质

其实完全就等价于

这些本征矢量的正交归一性

下面

我们再利用这个 S 矩阵

对于算符 F 的矩阵

做一个幺正变换

这个幺正变换就是

S^† 乘以 F 再乘以 S

这是 S^†

这是 S

把这个 F 插在中间

一定要注意

实际上

这三个东西都是方矩阵

对于这个乘法

我们先来看

F 往右乘

那么大家知道

ψ₁ 是 F 的

本征值是 λ₁ 的那个本征矢量

因此 F 乘以 ψ₁

就是 λ₁ 乘以 ψ₁

完全类似地

这个乘出来的结果

就是把

每一个本征矢量的前边

都填上它对应的本征值

当然要注意

这个地方实际上

仍然是一列

这个地方也是一列

如此等等

然后我们再完成

它和它的乘积

仍然遵循是

行乘以列的规则

于是你就发觉

其实只不过是刚才

没有 F 的那个乘法当中

做了一个这样的添加

那就是

所有的第一列的元素

都添上一个 λ₁

第二列的元素

都添上一个 λ₂

如此等等

再一次回忆

这些本征矢量

是正交归一的

于是

所有的对角元素

从原来的 1 都变成了

乘以相应的本征值

所以说变成了 λ₁，λ₂ 等等

而非对角元素

仍然是 0

大家知道

这叫做对角矩阵

于是

我们就发觉

这样的一个幺正变换

正好把矩阵 F

变成了对角矩阵

我们称之为对角化

而所有的对角元素

无非就是把 F 的本征值

依次地写上去

从这个角度来理解

本征矢量的意义

我们发觉

所谓一个求解

本征方程的问题

最后可以导致

这样的结果

那就是

把那个算符

变成对角的

换句话说

求解本征方程的问题

和把这个算符

对角化的问题

其实是完全等同的

我们求了

这个算符的本征函数以后

就可以通过

刚才所构造的那个

幺正矩阵

把这个矩阵

从一个一般的表象

所谓一般的表象

就是

这个算符矩阵不是对角的

把它变换到自身的表象

那么前面我们已经说了

一个算符

在其自身的表象当中

是对角矩阵

所以说

刚才所说的那个幺正变换

就完成了一个任务

这个任务就是

把算符从一般表象

变换到自身表象

下面我们举一个具体的例子

来体会这个过程

考虑

这样的一个二乘二矩阵

它的对角元素是 0

两个非对角元素

右上角是 -i

左下角是 i

以后我们将会

碰到这个矩阵

它是所谓的

泡利矩阵里边的一个

首先我们来验证一下

这个矩阵

确实是厄密矩阵

把这个 F 取厄密共轭

厄密共轭运算也就是

复共轭加转置运算

因此我们应该把

比如说

-i 变成 +i

并且把它从右上角

交换到左下角

类似的

这里的 i 要变成 -i

并且交换到右上角

当然就变成了这个

而它就是 F 自己

所以说

这个 F

尽管有虚的矩阵元

却是一个厄密的矩阵

为了求解

这个矩阵的本征方程

可以一下子就写出

它所对应的长期方程

这里想强调的是

在构造这个长期方程

也就是

一个行列式等于零的时候

除去把 F 原来的这些元素

照抄一遍以外

对角元素上

要添上 -λ

这点是要醒大家注意的

因为比较容易犯的错误是

这里就写 λ

当然在这种情况下

我们得到的

总是同样的这个方程

那就是 λ²-1

因为

这个二乘二的

行列式的规则是

对角元素相乘

减去非对角元素相乘

而久期方程就是这个行列式

要等于零

而这个代数方程

是非常容易解出来的

那就是

λ 等于 +1 或者 -1

我们把它们

分别的记为 λ₁ 和 λ₂

下一步

我们就要求本征矢量

先考虑第一个根

λ₁ = 1

把这样的值代回到原来的

本征方程里头去

再一次提醒大家注意

这里出现的是 -λ

所以说

对于 λ₁=1 的这个根

这个位置应该是 -1

这个位置也应该是 -1

然后

把它乘在这个本征矢量上

让它等于 0

再一次回忆

这个乘法叫做行乘以列

所以说

我有两个方程

一个是 -1 乘以 a₁

加上 -i 乘以 a₂ 等于 0

就是这个式子

另外一个是 i 乘以 a₁

加 -1 乘以 a₂ 等于 0

就是这个式子

但是我们仔细看一下

其实这两个方程

给出的是 a₁ 和 a₂ 的

相同的一个比例关系

比如说

我们把它写成

a₂ = i*a₁

你把它再代进来

这个等式照样是成立的

所以说

实际上这两个方程

是等价方程

我们可以把它

统一地写成为一个

这样的关系

就是 a₂ = i*a₁

于是它的本征矢量

就成为这个样子

a_{1 作为一个共同的因子}

写在前面

上分量是 1

下分量是 i

这个 a₁ 就是我们前面提到的

由本征方程无法确定的

那个整体

因此为了确定这个 a₁

我们应该利用

归一化条件

而这个时候的

ψ^†ψ

就是这两个元素的

模平方之和

很显然

它们最后

都成为 a₁ 的模平方

因此

这里是两倍的

a₁ 的模平方应该等于 1

于是

a₁ 的模平方就等于 1/2

当然这里也可以说

只要求 a₁ 的模平方等于 1/2

其实是不能完全确定

a₁ 自己的

因为你可以在 a₁ 上

添上任意一个

模平方为 1 的相因子

因此我这里写的是

我们可以取 a₁ = 1/√2

那意思就是说

其实不同的人

可以在这里

有不同的相位选择

这个选择只是

各种可能的选择里边的

一个而已

如果做了这样的选择的话

这个归一化的本征矢量

就成为 1/√2

列矩阵

上元素是 1

下元素是 i

这个步骤

完全可以重复地利用于

另外一个根

就是 -1

于是得到了

它的归一化的本征矢量

和刚才的

那个本征矢量的区别

只是下分量现在是 -i

好

现在我们已经

做好了这样的准备

就是写下这个矩阵 S

和它的厄密共轭

记得

这个矩阵 S 的构造方法

是把每一个本征矢量

排起来

这就是我们刚才

得到的那个 ψ₁

这是刚才得到的 ψ₂

排好了之后就构成了

我们称之为的变换矩阵 S

而 S 的厄密共轭

就是 S 的复共轭加转置

比如说

应当把这个元素

取复共轭

也就是 i 变成 -i

然后调换到右上角

到这里来

这里呢自然是把 -i 变成 +i

位置并不动

我们来验证一下

S^† 和 S 的乘积

这是 S^†

这是 S

利用行乘以列规则

你很容易发现

这一行乘以这一列

结果是两个相乘是 1/2

这两个相乘也是 1/2

加起来是 1

而这一行乘以这一列

是这两个相乘是 1/2

这两个相乘是 -1/2

加起来是 0

等等

结果就是

对角元素都是 1

非对角元素都是 0

也就是一个单位矩阵

再做这个变换矩阵

对 F 的变换

这里是 S 的厄密共轭

这个是 S 自己

中间插进去的

是给定的那个矩阵 F

很容易发觉

我先做右边的这两个乘

结果只是在这一行上不动

这一行上添了个负号

于是

这样的乘的结果是

左上角是 1

右下角是 -1

另外两个非对角元素

还是 0

也就是说

变成了一个对角矩阵

而对角元素

正好是两个本征值

那就是 1 和 -1

所以说

这个例子就完全验证了

前面的一般性的结论