12.2.2 球方势垒的S波散射在线视频

作为 S 波散射方法的

一个具体的运用

我们来研究一下

球方势垒的 S 波散射

所谓球方势垒指的是

这样的一个势能函数

就是当 r＜a 的时候

这个势能等于一个常数 V₀

这个 V₀ 是大于 0 的

而 r＞a 的时候

势能就是 0

由于我们现在考虑 S 波散射

所以我们要求 a 小, E 也很低

使得 ka<<1

这样我们总可以假设

E 一定比 V₀ 要小

所以我们现在的方程是

这样的一个方程

注意这是一个严格的方程

那么

由于这里写的 u 是

约化径向波函数

所以在这个方程之外

还要加一个边界条件

就是

u 在 r=0 的地方是等于 0 的

我们的任务就是

从这个方程当中

解出这个约化径向波函数

并且和这样的一个

渐近形式做对比

从当中

找出所谓的 0 阶相移 δ₀

然后按照前面给出的公式

这个 f(θ) 散射振幅

就是 1/k sinδ₀ e^iδ₀

要注意表面上看

f 应该是 θ 的函数

但是事实上右边的表达式

是根本和 θ 没有关系的

这表明所谓的 S 波散射

具有各相同性的这个特征

这是 S 波散射的独有特征

从散射振幅

又可以求出微分截面

那就是

它的模平方

那么由于

这个指数因子的模平方是 1

所以说

需要求平方的只有

这两个因子

再对它进行积分

实际上由于它和方向无关

所以只需要乘一个 4π

就得到了总截面

好

下面呢我们的任务

就是要求出 δ₀

那么要求这个相移

需要严格的去解这个方程

因此

需要对于 r＜a 和 r＞a

分别的列出 u

所满足的微分方程

在 r＜a 的地方

E 是小于 V 的

所以

这里出现的这里是负号

而在 r＞a 的地方 E＞0

所以这里出现的是正号

其中的 α 和 k

分别的用模型参数

以及能量 E 来表达

这两个方程的解

是大家熟知的

在 r＜a 的地方

这个函数是 sinh(αr)

再乘上一个常数

而 r＞a 的地方

就是正弦

注意

这里边的自变量是 kr+δ₀

因为一般而言

这个 δ₀ 是不等于 0 的

而在这里

αr 并没有加上常数

原因在于我们还要求

u(r) 在 r=0 的地方等于 0

所以这里已经把

边界条件考虑进来了

这样的一个

分段表达的波函数

应该在 r=a 的地方

本身连续并且一阶导数连续

而这样的连续性条件

可以化为

让这个 ln u 的导数

在 r=a 的地方连续

这就使得

前面所引入的积分常数

A 和 B 自动的被消掉了

而直接得到了模型参数

以及能量所表达出来的

这样的一个方程

由这个方程

就可以决定了相移

那就是

把这个量取反正切

然后再把相应的因子挪过去

因此 0 阶相移

就成了一个这样的表达式

我们来看一看它的构成

这里是 tanh(αa)

但是还要除以 αa

同时分子上出现了一个 ka

作为一个这样的因子之后

还要求它的反正切

然后再一起减掉 ka

当然

这是一个很复杂的表达式

尽管它是准确的

但是没有这样的必要

因为

我们本来只考虑 ka<<1

这样的物理条件

所以说

在刚才的那个表达式里边

可以把 ka 当作一个小量

进行展开

那么在最低阶的近似下呢

只需要保留 ka 的一次项

首先我们来观察 αa 这个量

我让 ka—>0

那么事实上

这里就意味着 E—>0

因而只有与模型参数有关

所构成的这个量

被保留下来了

我们把它记作 βa

β 就是由粒子质量

势能最高值以及

普朗克常数

所构成的一个常数

然后我们再注意

这里叫做双曲正切

但是又除以 x 自己

我们知道

双曲正切是一个

不大于 1 的量

因此这个量

实际上是小于等于 1 的

所以我们还可以

进一步利用这样的一个

近似条件

那就是

x 的反正切近似等于 x

于是我们就得到了

δ₀ 在 ka<<1 的

这个条件下的一个

近似的表达式

它只和 ka 的一次项有关

因为这个括号里边的量

都是模型参数所决定的量

和 k 没有关系

由于我们还要求截面

而这个截面需要用到 sinδ₀

在 δ₀ 很小的情况下

它又近似于 δ₀

于是微分截面

本来的表达式是这个样子的

重新用刚才的表达式代进来

就成为一个这样的结果

而总截面只不过是

这个表达式的 4π 倍

这里我们特地把

βa 的表达式重写出来

主要表明

这只取决于模型参数

其实我们发觉

这个时候的总截面

是和 k 没有关系的

所以说严格地来说

这个值是 ka—>0 的时候

这个总截面的一个极限

这里呢我们需要提醒

大家注意一个问题

那就是

回到这个表达式

δ₀ 正比于 ka

而当 ka—>0 的时候

截面却并不趋近于 0

因为截面还有一个 1/k²

所以说这二者的比值

仍然是一个有限的

再进一步

我们可以考虑

V₀—>∞ 的这个极限

那就是当 r＜a 的时候

这个势能是无穷大

由于β正比于 √V₀

因此 V₀—>∞

也就意味着 βa—>∞

刚才已经指出

双曲正切是一个有界函数

因此这样的一个比值

由于在分母上出现了 βa

因此在 βa—>∞ 的时候

它是趋近于 0 的

回到刚才的那个表达式

我们就发觉只剩下了

前面的这个因子留下来了

意思就是

总截面是 4πa²

这个 a 就是那个

无限高势垒的半径

由于我们

考虑的是一个无限高势垒

从物理图像上来说

它相当于一个完全硬球

而这个硬球的半径就是 a

现在我们想象一下

你的面前

有一个半径为 a 的完全硬球

然后你用小粒子去打击它

很显然

只有当这个小粒子恰好落在

这个完全硬球对于你而言的

截面以内的时候

散射才会发生

只要你这个

小粒子的投射距离

大于了这个半径

它就直接飞过去了

不会发生任何散射

从这个角度看来

所谓的一种

完全硬球的经典散射截面

就应该是 πa²

但是刚才我们得到的结果

却是 4πa²

也就是说

量子力学算出来的截面

是经典截面的4倍

要理解这样的一个结果

就要考虑

量子的粒子是有波动性的

用波函数来描写

在这个硬球的表面上

波函数必须等于 0

而这样的一个结果

就使得

在这个硬球周围的波函数

都会受到硬球存在的修正

这就使得量子的截面

比经典的截面变大了

还可以注意

由于我们

这样的一个表达式

是一个小于 0 的

所以

相移 δ₀ 也是小于 0 的

再联想到

势垒代表排斥作用

我们可以猜想到

这二者之间应该有点关系

事实确实如此

那就是一般的说

排斥作用的相移小于 0

而吸引作用的相移大于 0

这种一般的结论

可以用解析的方法来证明

也可以从

散射波的直观图像来理解

这里就不再做进一步的解释

此外

我们还要引入在理论当中

经常引入的一个量

称之为散射长度

对于我们现在所考虑的

低能散射

散射长度是通过

0 阶相移以及 k 来定义的

那就是记作 a₀ = -1/k tanδ₀

这里呢出现了一个负号

这是目前

普遍采用的散射长度的定义

它的目的是使得

对于排斥作用而言 a₀ > 0

而吸引作用的 a₀ < 0

如果我们考虑

低能而又非常小的相移

也就是说

δ₀ << 1 的这样的近似

那么我们可以让

sinδ₀ ≈ tanδ₀

而 σ_t 也就是总截面

就可以直接地表达为 4πa₀²

这就是

散射长度和散射截面的

一个关系

对于我们刚才所研究的

球方势垒的情形

一般的 V₀ 势能高度情况下

a₀ 是这样的一个表达式

很显然

它在 0 和 a 之间

这个 a 叫做势垒半径

而当势垒的高度

趋近于 ∞ 的时候

散射长度恰好就等于

势垒半径