当前课程知识点：量子力学（下） > 第九章 本征值问题的代数方法 > § 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法 > *9.1.3 关于自然单位制
下面这两个小节
都是打*号的小节
也就是选学的内容
首先我们来介绍一下
自然单位制
我们在上面的推导过程当中
已经用了一个
这样的一个变量
去代替x
做很多的计算
并且发现了
它非常之方便
因为这个ζ
是一个无量纲的变量
非常类似的
我们也可以对动量p
做一个这样的变换
这个量也是一个无量纲的量
而对于能量呢
大家就更熟悉了
那就是
把这个能量除以ℏω
你也得到了一个无量纲的量
或者说
你把ℏω作为了能量的单位
这样一来我们就可以有一个
更根本的办法
那就是干脆我就让
m和ℏ和ω等于1
这样的话呢
我重新再去看
x,p和E它们就直接变成
无量纲的量了
这种取法
就被称之为自然单位制
当然对这个取法
或者说是定义
必须有一个正确的理解
实际上m,ℏ,ω
它们都是确定的物理常数
我们让它等于1
究竟是什么意思呢
其实这样的做只是
改变了相关的
物理量的单位而已
比如说
对于x而言
我们以它作为单位
而这里边的量又都等于1
于是x自己
就直接变成了一个数字
完全类似的
这里是一个p的单位
而ℏω是E的单位
这就是所谓自然单位制的
本来的意义
在自然单位制之下
我们发觉
各种各样的计算
就变得比较简单了
因为它们不太涉及
非常复杂的一些普适常数
构成的表达式
那么
我们要得到最后的
有直接物理意义的结果
还要换回到普通的单位制
那就是在自然单位制的
表达式里边
再把这个x
换回到
根号mω除以ℏ乘以x
如此等等
但是无论如何
在自然单位制之下
我们的计算
就变得比较直接和明白
实际上
在自然单位制里边
不仅仅是我们刚才说的
坐标 动量 能量
称为无量纲量
而且所有的物理量
都称为无量纲量
其实它的意义也就是
选择一些特殊规定的量
作为相应的物理量的单位
这种所谓
特殊规定的量的一般形式
在我们现在所说的
自然单位制里
就是
m的某一个指数k1次方
乘以ℏ的某个指数k2次方
再乘以ω
的某个指数k3次方
对于不同的物理量
无非就是把
这里的k1 k2 k3定出来
而定出来的原则
就是
让这个表达式
和你所关心的那个物理量
具有相同的量纲
举两个非常直接的例子
比如说
在自然单位制里
时间的单位就是ω
分之一
因为很显然ω
分之一这个量
具有时间的量纲
而在自然单位制里ω
又等于1
再比如说
速度的单位是
这样的一个表达式
根号下ℏω除以m
也无非是因为
这个量的量纲就是速度
而在自然单位制下
它是等于1的
如此等等
完全类似的
在原子物理里边
也有所谓的原子单位制
它的意思是
让电子的质量
和ℏ和k1e2等于1
这里
我们牵涉到一些电磁单位
因此
所有的电磁量
都通过k1和e
来进入公式当中
也就是说
假设我们原来采用了单位制
是国际单位制
之所以这样来选择
是因为
在原子物理里
电子质量,ℏ和电子电荷
是最经常出现的
涉及的物理量
我们现在
再回过来看一下
谐振子的自然单位制
给我们什么样的启发
我们可以从这个角度
更直观的理解
阶梯算符方法的实质
如果用自然单位制来表达
谐振子的哈密顿量算符
就是1/2括号x2+p2
当然在这里的x和p
都是算符
假如
x和p是普通的实变量的话
刚才那个式子
有一个众所周知的
因式分解的表达式
那就是
1/2括号x2+p2
等于根号1/2(x+ip)
乘以根号1/2(x-ip)
由于我们现在假设的是
x和p是普通的实变量
所以说
这两个因子
换过秩序来写
结果其实是一样的
就是把它挪到这来
把它挪到这来
这个式子
也可以有一个简化的表达式
那就是
定义这个a+
等于根号1/2(x+ip)
a-等于根号1/2(x-ip)
那么
这个1/2括号x2+p2
既可以写成a+乘以 a-
也可以写成a-乘以a+
当然
这个式子
是在x和p是经典量的
意义下写出来
回到量子力学
x和p是算符
而且是彼此不对易的
这时候很容易发觉
这两个式子并不相等
那么
面对这样的特殊问题
其实也很容易发现它的
解决方法
那就是
用它们二者的平均值
来代替其中的一个
单独的式子
所以换成算符
我们就有这样的表达式
这个H算符
本来的意义是
1/2x算符平方加上
1/2p算符平方
而现在呢
我们就把它换成
另外两个算符的乘积
并且交换秩序之后
构成的那个平均值
而这两个算符
就可以类似于
这里的a+和a-来构造
也就是说
原来的a+
现在我把它写成
x+ip算符除以根号2
而a-
变成了这个算符的
厄密共轭
因此这里边
把加i变成减i
而这两个算符
正是在
自然单位制下解出来的
湮灭算符和产生算符
由此我们发觉
量子力学里边的
阶梯算符方法
其实质可以理解为
算符的因式分解
我们在后边将会讲到
阶梯算行方法
在其它问题当中的一些应用
而从这个角度
我们就能够很容易的理解
在那些问题当中
是如何引入的阶梯算符
并且也不难看出来
在什么情况下
这个阶梯算符的这个方法
能够发挥它特殊的优越性
-8.1 量子态和力学量的表象和表象变换
-第八章 量子力学的矩阵形式--第一周作业
-8.2量子力学的矩阵形式
-8.3 狄拉克符号
-第八章 量子力学的矩阵形式--第二周作业
-§ 9.1 线性谐振子的阶梯算符方法
--9.1.1 续
--9.1.4 续
-第九章 本征值问题的代数方法--第3周作业
-§ 9.2 角动量的本征值和本征态
-§ 9.3 角动量的合成
--CG系数的确定
--第九章 本征值问题的代数方法--第4周作业
-§ 10.1 电子自旋及其描述
-第十章 电子自旋--第五周作业
-§ 10.2 电子总角动量和自旋-轨道耦合
-§ 10.3 原子光谱的精细结构
--*10.3.3氢原子光谱的精细结构，超精细结构和兰姆移动
--第十章 电子自旋--第六周作业
-§ 10.4 塞曼效应
-§ 10.5 自旋纠缠态
-第十章 电子自旋--第七周的作业
-§ 11.1 束缚态微扰论I：非简并情形
--11.1.2 一级微扰能和微扰波函数 微扰近似适用的条件
-§ 11.2 束缚态微扰论II：简并情形
-第十一章 微扰论--第八周的作业
-§ 11.3 量子跃迁的微扰论
--11.3.1 哈密顿量与时间无关时含时薛定谔方程的一般解
--第十一章 微扰论--第九周的作业
-§ 11.4 光的辐射和吸收
--第十一章 微扰论--第十周的作业
-§ 12.1 散射实验和散射截面
-第十二章 散射理论--第11周的作业
-§ 12.2 中心势场中的分波法
--12.2.1 续
--第十二章 散射理论--第12周的作业
-§ 12.3 玻恩近似
--第十二章 散射理论--第13周的作业
-§ 13.1 里兹变分法
-第十三章 其它近似方法--第十四周的作业
-*§ 13.2 玻恩-奥本海默近似
--13.2.1系统的快变自由度和缓变自由度 波恩-奥本海默近似
--第十三章 其它近似方法--第十五周的作业
-*§ 13.3 突变近似和绝热近似
