11.1.3 二级微扰能在线视频

下面我们再来研究一下

二级微扰能

首先把二级微扰方程写下来

那么左边出现的仍然是

Ĥ⁽⁰⁾ - E_n⁽⁰⁾

然后现在作用于

二级微扰波函数

右边出现这样两项

这项里面出现的

算符和本征值

都是一级的

作用的函数也是一级的

而这项里面的微扰能

是二级的

波函数却是零级的

现在我们已经得到了

一级微扰能和

一级微扰波函数

所以

就可以把它们都代入到

这个方程里边

这里是一级微扰

这里是一级微扰波函数

从而得到这样的一个方程

对于这个方程的右方

我们按照三项来写

第一项是 Ĥ′

作用于一级微扰波函数

而一级微扰波函数

展开为

零级波函数的线性组合

这是那个组合系数

于是这个 Ĥ′直接作用在

零级波函数上

第二项就是一级微扰能

乘以一级微扰波函数

就是这里写下来的一项

这里写的是

零级波函数的线性组合

第三项

仍保留成为原来的样子

如果大家回忆一下

我们在求一级微扰能的时候

是把一级微扰方程两端乘以

零级波函数的复共轭再积分

那么

现在我们也可以这样来做

那就是

二级微扰波函数

也可以展开成为

零级波函数的线性组合

那么只要在方程两端

乘以你所考虑的那个能级的

波函数的复共轭

并且积分

那么

等式的左边再一次等于0

如果我们来

看一看这个式子的话

那就是因为

当把这个式子

展开成为零级波函数的

线性组合的时候

Ĥ⁽⁰⁾ 作用于 ψ_n⁽⁰⁾

给出的正好是 E_n⁽⁰⁾

因此左边是等于0的

右边那个零级波函数

要保留在 Ĥ′ 的左方

再做积分

而右边的第二项

出来的是 ψ_n⁽⁰⁾ 的复共轭

乘以 ψ_m⁽⁰⁾ 的积分

而这个 m 却不能等于 n

因此它一定是和 ψ_n⁽⁰⁾ 正交的

ψ_n⁽⁰⁾ 的复共轭

乘以它自己再积分

这正好是它的归一化

于是 E_n⁽²⁾ 被提取出来

考虑到所有的这些结果

我们就发觉

事实上只有这项和这一项

给出的是非零的结果

也就是说

我们得到了

E_n⁽²⁾ 的一个表达式

这个表达式就是

这样的一个求和

这个系数本来是

一级微扰波函数

对零级波函数

展开的时候的那个系数

刚才用的这个

乘以波函数的复共轭

再积分就给出的

是这样的一个积分

而很容易看出来

实际上它代表的

也是一个 H′ 的矩阵元

只不过现在这个矩阵元的

左右指标

分别是 n 和 m 而不是 mn

这个表达式

又可以再改写一下

那就是因为 Ĥ′

是一个厄密的算符

所以

当我把这两个指标交换一下

恢复成为 mn 的时候

实际上这个矩阵元

变成了复共轭

也就是说

分子上实际上是这个

H_mn' 这个矩阵元的模平方

分母上是 n 这个能级和

m 这个能级的

零级的能量之差

但是这个求和的指标 m

不能等于 n

这就是二级微扰能的表达式

至于说

二级微扰波函数的确定

我们就不再仔细解释了

也不作为这个课程的

一个必要的要求

为了理解

如何把微扰论的方法

应用到具体的物理问题

这里我们举一个例子

就是把一个一维谐振子

放在静电场中

当然这个时候我们要假设

这个谐振子

还带有一定的电荷记作 q

同时假设

这个电场是沿着 X 的正向

加上去的

本身是恒定的

也就是说

不和时间以及位置有关

那么根据大家所知道的

电磁学的知识

这个系统的哈密顿量

应该包含两个部分

一个部分叫做 Ĥ⁽⁰⁾

我们就是看作为

没有加微扰时候的哈密顿量

也就是

一维谐振子原来的哈密顿量

而 Ĥ′ 是这个电荷

在外加恒定电场中的势能

这个表达式

是大家利用电磁学

就可以得到的

这里的 ε 代表的是

一个正常数

首先我们来计算一下

一级微扰能

前面已经说过

一级微扰能事实上就是 H′

在我们所选择的

那个能级上的平均值

H′ 现在是

这样的一个表达式

其中包含了坐标 x

因此

事实上它就等于要求我们

求出 x 在你所选定的

这个零级本征态上的平均值

大家知道

所有的谐振子的能量本征态

都有确定的宇称

因此这个波函数的模平方

一定是在 x 变成 -x 的时候

不变号

也就是说

这个模平方总是偶函数

而 x 自己是奇函数

因此这个积分永远等于 0

这就表明

事实上一级微扰能

是恒为零的

当然为了了解这个 ′

对系统的能量所造成的影响

我们必须再考虑二级微扰能

那么二级微扰能里边

根据那个公式

出现了 H′

在零级波函数所构成的

表象当中的矩阵元

这里的矩阵元

要考虑非对角的

所以说

我们要问

这样的一个矩阵元等于多少

为了计算这个矩阵元

我们可以借助于在第八章里

所介绍的那个阶梯算符

在谐振子的情况下

所谓的升级算符

它的作用是

当它作用于第 n 个能级的

波函数的时候

给出了

第 n+1 个能级的波函数

并且前面出现一个系数

就是 √(n+1)

而降级算符

作用于第 n 个能级的波函数

给出的是

第 n-1 个能级的波函数

前面的这个系数是 √n

另外一方面

x̂ 这个算符

可以写成

阶梯算符的组合的形式

那就是

降级算符加上升级算符

前面再乘以这样的一个系数

这一来我们就发觉

这个表达式事实上就等于

这样的一个表达式

也就是说

插在中间的这个算符

是降级和升级算符之和

而降级算符

作用于谐振子的

第 n 个本征态

出来的是第 n-1 个本征态

再乘以 √n

而这第 n-1 个本征态

和第 m 个本征态的内积

只有当 m=n-1 的时候

才等于 1 而其它的都等于 0

所以这里出现的是 δ

右下角 m 和 n-1

完全类似地

这里是升级算符作用于

第 n 个能级的本征态

得到的是

第 n+1 个能级的本征态

并且乘以系数 √(n+1)

所以这里出现的是

δ_m,n+1

所以我们就得到了

微扰哈密顿量

在谐振子表象中的

矩阵元的表达式

它事实上包含两项

一项只当 m=n-1 的时候

才不等于 0

另外一项

只当 m=n+1 的时候

才不等于 0

然后把这个表达式

再代入二级微扰能的

这个表达式

那么当然这里的

对 m 的求和

也只出现两种可能

那就是 m=n-1 和 m=n+1

也就是说

这个求和只有两项

是不等于 0 的

再考虑到

它们都是有一定的

系数的表达式

于是我们就发觉

这里出现的是 √n 的平方

因此是 n

而这里出现的是

√(n+1) 的平方因此是 n+1

还要考虑分母

分母里永远是 E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾

因此这一项的分母是

第 n 个能级减去

第 n-1 个能级

因而实际上是 ℏω

而这里的分母

就恰好是第 n 个能级的能量

减去第 n+1 个能级的能量

因而是 -ℏω

这里正好是有同样的分母

然而一个是正号一个是负号

意味着它的分子应该相减

这个减法的结果是

n 就不再出现

而成为这样的一个负的常数

所以说我们发觉

当我们把一个带电的谐振子

放在电场当中去的时候

它的能量

是会受到一定的修正的

然而这样的修正

在二级微扰的级次上

实际上是一个常数

和 n 是没有关系的

这样一来

如果准确到二级微扰的话

加了扰度以后的总能量

就应该是未微扰的能量

加上二级微扰能

也就是

原来的括号 [n+(1/2)]ℏω

再减去这样的一个常数

这个常数和电荷的平方

电场强度的平方

粒子的质量

以及本征频率都有关

对于这样的一个能量表达式

我们可以和这个问题的

精确解答做一个比较

因为实际上

这个问题是有精确解的

我们可以从下面的这个角度

来认识这个问题

因为现在完整的势能

包含了两项

一项是

谐振子的抛物线形的势能

另外一项是

外加电场带来的线性的势能

这是一个关于 x 的

二阶多项式

然而不包含常数项

对于这样的一个表达式

初等代数就已经告诉我们

可以采用所谓的配方的办法

就是

把这两项之外

再加上一个常数项

使得它成为这样的一个

一次势的平方式

同时还要把

你加上的那个常数项再减掉

使得它和原来的表达式相等

因此我们现在可以这样来

重新看待这个势能曲线

那就是它由两项组成

第一项叫做对称轴平移了的

抛物线势能

意思就是说

现在这仍然是一个抛物线

然而它的对称轴处在了

qε/μω² 的这一点上

但是为了达到这个结果

我们必须再补上

另外一个负的常数项

很显然刚才的第一项

只不过是

谐振子势能做了一个

沿 x 方向上的平移

这个移动是不会影响

谐振子的能级的

而它的第二项

正是我们求出来的

二级微扰能

所以我们可以说

准确到二级微扰论

我们得到的能级正好和

精确的能级是一致的

当然这种二级微扰

与精确结果相同的情形

不是普遍的

在这个例子里边

只体现了一种巧合

而且

如果你再进一步去计算

微扰波函数的话

二级微扰波函数并不和

精确的波函数相同

所以我们举这个例子

只是为了表明微扰论的方法

确实是在一定的条件下

给出合理的物理结果

我们还可以进一步问一下

这个问题的

一级微扰波函数是什么

精确的波函数又是什么

对这二者进行一下比较

可以进一步体会

微扰论的适用条件