定态电磁波在线视频

下面说第二部分

我们定义定态电磁波

定态电磁波实际上是一种

有固定频率的

就它对时间的依赖

是以这么一种简谐振动的

形式的这个电磁场

在这里面我们是用复数的形式

来把它对时间的依赖写出来

一般的电磁场对时间

和空间的依赖

可能是很复杂的一个形式

但是我们讨论定态电磁波

就要求它对时间的依赖

就是这么一个形式

当然磁感应强度

也是这样一个形式

这个就是说我们说的

电磁波的角频率

有的人会问说

我们前面讨论的电场 磁场

都是在实数空间的一个矢量

现在你怎么会把它变成复数了

这个需要大家自己

可以下去去证明一下

我们当把这个电磁场

推广成复数空间去的时候

我们可以证明它的实部和虚部

自己是可以分别的满足

麦克斯韦方程组的

那么我们现在这么着来去描述

实际上是为了后面我们讨论方便

特别是讨论

所谓衰减形式的电磁波

描述起来比较方便

我们真正实验

测到的这个电磁场

是这个电磁场里面的实部的部分

那么这样的定态电磁波

一个很重要的特点

它和频率有关

后面在我们这个课的第六章

我们还会发现

实际上介质对电磁波的响应

它会有这些静电常数 磁导率

电导率等等这些

对不同频率的电磁波的响应

也是不一样的

因此一般来说描述

这个介质的这些参数

通常也是这个频率的函数

那么我们现在这个E（ω）

ω标出来就是特别指的是

频率为ω的定态电磁波

这个是 也是频率为ω的电磁场

那么我们原来的电磁性质方程

实际上要更细化一点

是针对着

一个频率一个频率说的

这个就是D等于εE

B等于μH还有欧姆定律

这些都化为一个固定频率的

电磁场的关系

这是定态电磁波之间的关系

我们下面在这后面的部分

很重要要讨论

这个定态电磁波里面

现在对时间的依赖

是明显的写出来

对空间坐标的依赖

还要继续进一步的求解

我们下面要来讨论它的这些

对空间坐标的依赖

还有具体的一些依赖行为

把这个定态电磁波的解

放到那个麦克斯韦方程组里面

那么麦克斯韦方程组里

凡是出现时间微商的地方

你就可以直接

因为这时间依赖是明显知道

就可以直接

微商就微出来就是了

一个偏偏t就下来一个负iω

所以法拉第电磁感应定律

是负的偏B偏t

这下来一个负iω

和那个负号拿掉

就是偏偏t就不要了

就变成iω

然后这个E和B

你可以看成有这个因子

也可以没有

因为方程两边都同样有这个因子

所以一般是把这个因子就拿掉了

就是它对空间坐标依赖

满足这个 这个方程

这是法拉第电磁感应定律

对定态电磁波

只依赖于空间坐标的那一部分

这一部分的约束方程

然后还有一个安培环路定理

加上位移电流的

是有一个偏D偏t

偏D偏t D是εE

就拿这个

然后E再偏偏t

就下来一个负iω

所以那个偏偏t

就换成负iω

另外两个散度的方程

不涉及到时间微商

就直接还是散度等于0

注意到在

我特别强调在这个里面

我们把方程两边

同时都有这个e的负iωt

都拿掉了

所以这只是对前面这个

对空间坐标依赖的

这个场的部分的方程

这个相比原来的麦克斯韦方程组

原来的麦克斯韦方程组

是三个空间坐标

一个时间坐标

四个自变量的函数

现在就已经少了一个

因为时间坐标都已经拿掉了

这是空间坐标了

所以相对来说是简化了一些

在这里面我们再把

这个物质的电磁性质方程代进去

也就是把这个j代进去

把这里面的H代进去

把这个D代进去改成E和B

这个方程就变成是这个样子

我们现在只考虑

同样只考虑均匀的介质

所以都是常数

μ γ ε都是常数

好 进一步我们把这个方程

还是E和B缠在一起的一个方程

我们要化成E和B

单独的自己的方程

才能进行求解

下面我们先看一看对E来说

是满足什么样的方程

我们算这个

这个用拉普拉斯算符

作用到这个电场强度上

可以加上这么一个项

因为加的这项E的散度等于0

在这里再多说一下

这个等于0就是我们刚才说的

如果是绝缘介质

我们根本就不考虑

一开始就不放电荷

如果是导体 电导率比较大

所以那个电荷 总之在这块

本来出来现在的电荷密度

就一开始就取成0

我们只考虑等于0的情况

那么这个出来了

就是E的散度等于0

E的散度等于0

这一项加上去就没有贡献

但是这两项凑在一起

就变成这么一个组合

E的旋度再做一次旋度

而E的旋度按照在这里面

就可以换成磁感应强度

所以就把它代进去

而磁感应强度的旋度

又可以再换成E的函数

就变成是这样

这样的话这个项

和这个项联合起来

就是对电场强度满足的方程

磁感应强度也是类似的做

把E换成B就是了

然后在这也是开始代这个方程

代了以后E的旋度

又再代一次这个方程就得到

所以这是关于E的方程

最后这个是关于B的方程

我们拿E的这个方程

E的这个方程写出来

可以写成是这个样子

我们把这一团的东西

移到等号那一边

定义一个叫K方这么一个量

这个k方这个量就是这个

这是移到等号那一边

就是K方只是一个记号

定义就是这个

然后因为是算E的方程

这是一个E的二阶的

偏微分方程

再加上原始的

这个E的散度等于0

然后在这个式子里面

可以把这个除过来

就是假定通过这两个方程

把E已经算出来了

然后把这个ω除过来

就可以得出B 这个式子

这是用E作为基础

先把E求出来

然后就可以把磁感应强度算出来

还一种反过来 可以先求B

就是这个方程

你会发觉

还是用刚才定义的这个K平方

还是可以写成这B式

这样的类似的方程

然后这个方程是没有磁单极的

同样这个式子把这个除过来

就是B假定算出来了

你就可以用B的旋度

来去计算这个E

所以在这套方程里面有两种解法

一种是你先算E然后给出B

或者先算B再算E都可以

我们是用红色的这个来去先算E

然后再把B算出来

注意到在这个里面

在这个K平方这一团的

这个里面你会发觉

如果是导体

就是这γ不等于0

它会使这个东西

多了一个虚部的这个项

这个多的虚部项

你可以吸到ε的定义

静电常数

就是这个静电常数

里面加一个这个项

就相当于贡献了这个

这就告诉你静电常数里面

如果是能把它原来是实数

是一个常数在这里面

如果它有虚部

它的虚部起了效果

就和这个导体的效果是一样的

现在我们刚才说

我们已经把麦克斯韦方程组

推广到复数的空间

就是它的这个场

可以有实部 有虚部

那么既然这个场

可以有实部 有虚部

这个系数原则上

也可以有实部 有虚部

我们后面在第六章

讨论具体拿一个

简单的介质的模型

来去计算介电常数的时候

确实能够发现

这个静电常数里面

在实际的介质里面

是有可能有虚部的

在这里就告诉你

从这个方程的角度看

它如果是有虚部

它效果和这个

电导率的效果是一样的